Περιμετρικά προβλήματα

KARKAR · #1

: Περιμετρικά προβλήματα.png (19.02 KiB) Προβλήθηκε 600 φορές

Στην πλευρά

- του πλευράς

- ισοπλεύρου τριγώνου ABC

, θεωρούμε σημείο

,

πλησιέστερα προς το

, ώστε :

. Στην πλευρά

, θεωρούμε σημείο

,

ώστε : TB=TD

. Οι προεκτάσεις των TD,BC

τέμνονται στο σημείο

.

Υπολογίστε την περίμετρο του τριγώνου DCS

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 06, 2023 7:59 pm
Περιμετρικά προβλήματα.pngΣτην πλευρά - του πλευράς - ισοπλεύρου τριγώνου , θεωρούμε σημείο ,

πλησιέστερα προς το , ώστε : . Στην πλευρά , θεωρούμε σημείο ,

ώστε : . Οι προεκτάσεις των τέμνονται στο σημείο .

Υπολογίστε την περίμετρο του τριγώνου .

Από το Θ συνημίτονου στο $\vartriangle ABD$ έχω , ${14^2} = {16^2} + A{D^2} - 2 \cdot 16 \cdot AD \cdot \cos 60^\circ$ ή $A{D^2} - 16AD + 60 = 0$ .

Από τις ρίζες $\boxed{AD = 10}$ είτε AD = 6

δεκτή η πρώτη γιατί AD > DC

. Προφανώς δε $\boxed{DC = 6}$

Γράφω τώρα τον περιγεγραμμένο κύκλο του $\vartriangle DBC$ πού τέμνει τις $TS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TB$ στα $\,E\,\,,\,\,Z$ .

Επειδή τα τετράπλευρα $ZDCB\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZEDB\,$ είναι ισοσκελή τραπέζια , ED = ZB = DC = 6

.

: περιμετρικά προβλήματα.png (22.95 KiB) Προβλήθηκε 567 φορές

Θέτω : $CS = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DS = y$

Από τη δύναμη του

ως προς τον κύκλο έχω και το Θ συνημίτονου στο $\vartriangle DCS$ έχω :

$\left\{ \begin{gathered} y(y + 6) = x(x + 16) \hfill \\ {y^2} = {x^2} + {6^2} - 2x \cdot 6 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {y^2} + 6y = {x^2} + 16x \hfill \\ {y^2} = {x^2} + 36 + 6x \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {y^2} - {x^2} = 16x - 6y \hfill \\ {y^2} - {x^2} = 6x + 36 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ ή τελικά:

$\left\{ \begin{gathered} 5x - 3y = 18 \hfill \\ {y^2} - {x^2} = 6x + 36 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{117}}{8}\,\,\,,\,\,y = \frac{{147}}{8} \hfill \\ x = 0\,\,,\,\,y = - 6 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ οπότε η περίμετρος , $\boxed{2s = x + y + 6 = 39}$ .

Παρατήρηση

Με τη χρήση του κύκλου $\left( {A,D,B} \right)$ , η ομοιότητα των τριγώνων $DES\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BZS$ δίδει : 5y - 3x = 48

που με το Θ. συνημίτονου στο

$\vartriangle DCS$ ( ${y^2} = {x^2} + 6x + 36$ ) προκύπτουν ίδιες απαντήσεις.

: περιμετρικά προβλήματα_new_2.png (25.98 KiB) Προβλήθηκε 561 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 06, 2023 7:59 pm
Περιμετρικά προβλήματα.pngΣτην πλευρά - του πλευράς - ισοπλεύρου τριγώνου , θεωρούμε σημείο ,

πλησιέστερα προς το , ώστε : . Στην πλευρά , θεωρούμε σημείο ,

ώστε : . Οι προεκτάσεις των τέμνονται στο σημείο .

Υπολογίστε την περίμετρο του τριγώνου .

Με ν.συνημιτόνου στο τρίγωνο ABD

έχουμε

απ όπου

ή

κι επειδή $AD>DC\Rightarrow AD=10 \Rightarrow DC=6$

Ο ν.συνημιτόνου ξανά στο τρίγωνο ABD

δίνει $cos \theta = \dfrac{11}{14}$ άρα

$\dfrac{11}{14} = \dfrac{7}{y} \Rightarrow y= \dfrac{98}{11} \Rightarrow AT= \dfrac{78}{11}$

Ο Μενέλαος στο τρίγωνο ABC

με διατέμνουσα TDS

δίνει $\dfrac{6}{10}. \dfrac{78}{98} . \dfrac{x+16}{x}=1 \Rightarrow x= \dfrac{117}{8}$

Τέλος ο ν. ν.συνημιτόνου στο τρίγωνο DCS

δίνει $DS= \dfrac{147}{8}$ και $P=\dfrac{147}{8}+\dfrac{117}{8}+6=39$

: περιμετρικά προβλήματα.png (51.28 KiB) Προβλήθηκε 560 φορές

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 06, 2023 7:59 pm
Περιμετρικά προβλήματα.pngΣτην πλευρά - του πλευράς - ισοπλεύρου τριγώνου , θεωρούμε σημείο ,

πλησιέστερα προς το , ώστε : . Στην πλευρά , θεωρούμε σημείο ,

ώστε : . Οι προεκτάσεις των τέμνονται στο σημείο .

Υπολογίστε την περίμετρο του τριγώνου .

Εστω

τότε απο τα όμοια τρίγωνα $TKD,DCS,\dfrac{TK}{CS}=\dfrac{KD}{DC}=\dfrac{TD}{DS},(1),$

θέτω BT=x,DC=y,

$(1)\Rightarrow CS=\dfrac{y(16-x)}{x-y},DS=\dfrac{xy}{x-y},$

Στο τρίγωνο BDC,

,από νόμο συνημιτόνων $y^{2}-16y+60=0\Rightarrow y=6$

η άλλη ρίζα απορρίπτεται

Τρίγωνο $ATD,x=\dfrac{98}{11},$

Αρα η περίμετρος του τριγώνου CDS,DC+CS+DS=39

Περιμετρικά προβλήματα

Περιμετρικά προβλήματα

Re: Περιμετρικά προβλήματα

Re: Περιμετρικά προβλήματα

Re: Περιμετρικά προβλήματα

Μέλη σε σύνδεση