Λόγος ελάχιστα μεταβλητός

KARKAR · #1

: Λόγος ελάχιστα μεταβλητός.png (14.02 KiB) Προβλήθηκε 608 φορές

Στην προέκταση της ακτίνας OT=r

, θεωρούμε σημείο

, ώστε :

και φέρουμε

τα εφαπτόμενα τμήματα SA , SB

. Σχεδιάζουμε το εφαπτόμενο τμήμα LTN

και το

.

α) Υπολογίστε τα LN , AP

, όταν

.

β) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AP}{LN}$ , για οποιοδήποτε

.

γ) ( Προαιρετικό ) Φαίνεται ότι αυτός ο λόγος παίρνει μιαν ελάχιστη τιμή ( ελάχιστα μικρότερη

του 1,3

) . Μπορείτε να την βρείτε ;

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Φεβ 26, 2023 8:55 am Λόγος ελάχιστα μεταβλητός.pngΣτην προέκταση της ακτίνας , θεωρούμε σημείο , ώστε : και φέρουμε

τα εφαπτόμενα τμήματα . Σχεδιάζουμε το εφαπτόμενο τμήμα και το .

α) Υπολογίστε τα , όταν .

β) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AP}{LN}$ , για οποιοδήποτε .

γ) ( Προαιρετικό ) Φαίνεται ότι αυτός ο λόγος παίρνει μιαν ελάχιστη τιμή ( ελάχιστα μικρότερη

του ) . Μπορείτε να την βρείτε ;

: Λόγος ελάχιστα μεταβλητός.png (19.01 KiB) Προβλήθηκε 586 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: Κυρ Φεβ 26, 2023 8:55 am Λόγος ελάχιστα μεταβλητός.pngΣτην προέκταση της ακτίνας , θεωρούμε σημείο , ώστε : και φέρουμε

τα εφαπτόμενα τμήματα . Σχεδιάζουμε το εφαπτόμενο τμήμα και το .

α) Υπολογίστε τα , όταν .

β) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AP}{LN}$ , για οποιοδήποτε .

γ) ( Προαιρετικό ) Φαίνεται ότι αυτός ο λόγος παίρνει μιαν ελάχιστη τιμή ( ελάχιστα μικρότερη

του ) . Μπορείτε να την βρείτε ;

α) Για

είναι $\displaystyle OB = \frac{{OS}}{2},$ οπότε το SAB

είναι ισόπλευρο πλευράς $AB=r\sqrt 3.$ Αλλά το

είναι έγκεντρο (άρα και ορθόκεντρο) αυτού του ισοπλεύρου και $\boxed{AP=\frac{3r}{2}}$ Αλλά και το SLN

είναι ισόπλευρο ύψους s=r,

άρα $\boxed{ LN = \frac{{2r\sqrt 3 }}{3}}$

: Λόγος ελάχιστα μεταβλητός.png (19.01 KiB) Προβλήθηκε 531 φορές

β) $\displaystyle AS = BS = \sqrt {{s^2} + 2rs}$ και $\displaystyle \sin \theta = \frac{r}{{s + r}} = \frac{{AB}}{{2AS}} \Leftrightarrow AB = \frac{{2r\sqrt {{s^2} + 2rs} }}{{r + s}}$

Από το εγγράψιμο OALT

είναι $\displaystyle SL\sqrt {{s^2} + 2rs} = s(r + s) \Leftrightarrow SL = \frac{{s(r + s)}}{{\sqrt {{s^2} + 2rs} }}.$

Αλλά, $\displaystyle LN = 2AL = 2(AS - SL) \Leftrightarrow$ $\boxed{LN = \frac{{2rs}}{{\sqrt {{s^2} + 2rs} }}}$ (1)

Με Stewart στο OAS

βρίσκω $\displaystyle AT = \frac{{r\sqrt {2s} }}{{\sqrt {r + s} }}.$ To

είναι όμως έγκεντρο του ABS,

άρα $\dfrac{{AT}}{{AP}} = \dfrac{{AB + AS}}{{AB + AS + BS}} = ...$

$= \dfrac{{3r + s}}{{2(2r + s)}} \Rightarrow AP = \dfrac{{2r(2r + s)\sqrt {2s} }}{{(3r + s)\sqrt {r + s} }}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{ \frac{{AP}}{{LN}} = \frac{{(2r + s)\sqrt {2(2r + s)} }}{{(3r + s)\sqrt {r + s} }}}$

γ) Η μελέτη της συνάρτησης $f(s)=\displaystyle \frac{{AP}}{{LN}} = \frac{{(2r + s)\sqrt {2(2r + s)} }}{{(3r + s)\sqrt {r + s} }}$ δίνει για $\boxed{s=r}$ ελάχιστη τιμή

$\boxed {{\left( {\frac{{AP}}{{LN}}} \right)_{\min }} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4} \simeq 1,29903}$

Λόγος ελάχιστα μεταβλητός

Λόγος ελάχιστα μεταβλητός

Re: Λόγος ελάχιστα μεταβλητός

Re: Λόγος ελάχιστα μεταβλητός

Μέλη σε σύνδεση