Περίμετρος από διαφορές

KARKAR · #1

: Περίμετρος από διαφορές.png (6.92 KiB) Προβλήθηκε 856 φορές

Οι βάσεις του τραπεζίου ABCD

διαφέρουν κατά

, ενώ οι μη παράλληλες πλευρές του , κατά

.

Το τμήμα

, το οποίο συνδέει τα μέσα των βάσεών του , έχει μήκος

.

Υπολογίστε την περίμετρό του τραπεζίου , αν δίνεται ότι είναι περιγράψιμο .

abgd · #2

: perimetros.png (30.13 KiB) Προβλήθηκε 776 φορές

Έστω $\displaystyle{AB=a, \ \ BC=b,\ \ CD=c, \ \ DA=d}$ . Ισχύουν:

$\displaystyle{\begin{Bmatrix} a+c=b+d\\ c-a=14\\ b-d=4 \end{Bmatrix}}$

Λύνοντας ως προς $\displaystyle{a}$ έχουμε: $\displaystyle{AB=a, \ \ BC=9+a,\ \ CD=14+a, \ \ DA=5+a}$

Φέρουμε $\displaystyle{AE, BZ}$ παράλληλες στη $\displaystyle{MN}$ .

Θα είναι: $\displaystyle{DE=CZ=7}$ και $\displaystyle{AE=BZ=6}$

Από το νόμο των συνημιτόνων στα τρίγωνα $\displaystyle{ADE, \ \ BZC}$ είναι:

$\displaystyle{cos\phi=\frac{(9+a)^2-6^2-7^2}{2\cdot 7 \cdot 6}=\frac{6^2+7^2-(5+a)^2}{2\cdot 7 \cdot 6}\Leftrightarrow... \Leftrightarrow a^2+14a-32=0\Leftrightarrow a=2}$

Άρα $\displaystyle{AB=2, \ \ BC=11,\ \ CD=16, \ \ DA=7}$ και η περίμετρος του τραπεζίου $\displaystyle{P=36}$ .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 26, 2023 8:39 pm
Περίμετρος από διαφορές.pngΟι βάσεις του τραπεζίου διαφέρουν κατά , ενώ οι μη παράλληλες πλευρές του , κατά .

Το τμήμα , το οποίο συνδέει τα μέσα των βάσεών του , έχει μήκος .

Υπολογίστε την περίμετρό του τραπεζίου , αν δίνεται ότι είναι περιγράψιμο .

Αν

τότε

Επειδή τώρα BC-AD=4

και

θα είναι

Φέρνω τις

παράλληλες στη MN.

: Περίμετρος από διαφορές.png (17.89 KiB) Προβλήθηκε 728 φορές

Προφανώς,

και

Τα τρίγωνα ADE, BZC

είναι ισεμβαδικά, άρα από Ήρωνα,

$\displaystyle (a + 9)(4 - a)(a + 2)(a + 3) = (a + 11)(2 - a)(a + 4)(a + 5) \Leftrightarrow$

$\displaystyle 2{a^3} + 21{a^2} + 33a - 56 = 0 \Leftrightarrow (a - 1)(a + 8)(2a + 7) = 0,$ με δεκτή ρίζα a=1.

Εύκολα τώρα AB=2, BC=11, CD=16, AD=7

και η περίμετρος είναι $\boxed{p=36}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 26, 2023 8:39 pm
Περίμετρος από διαφορές.pngΟι βάσεις του τραπεζίου διαφέρουν κατά , ενώ οι μη παράλληλες πλευρές του , κατά .

Το τμήμα , το οποίο συνδέει τα μέσα των βάσεών του , έχει μήκος .

Υπολογίστε την περίμετρό του τραπεζίου , αν δίνεται ότι είναι περιγράψιμο .

Έστω

,

οπότε

Από θ.διαμέσου στο τρίγωνο BCZ

παίρνουμε

. Ακόμη

Από το σύστημα εύκολα βρίσκουμε x=7,y=11

κι αφού είναι περιγράψιμμο το τραπέζιο θα είναι

AB+CD=7+11=18

,άρα η περίμετρός του θα είναι P=36

: Περίμετρος από διαφορές.png (17.37 KiB) Προβλήθηκε 701 φορές

Περίμετρος από διαφορές

Περίμετρος από διαφορές

Re: Περίμετρος από διαφορές

Re: Περίμετρος από διαφορές

Re: Περίμετρος από διαφορές

Μέλη σε σύνδεση