Με κορυφές τα μέσα τόξων

#1

: Με κορυφές τα μέσα τόξων.png (16.23 KiB) Προβλήθηκε 567 φορές

Το τρίγωνο ABC

με

είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και K, L, M

είναι τα μέσα των μικρών τόξων $\overset\frown{AB}, \overset\frown{BC},\overset\frown{CA}.$ Να υπολογίσετε το λόγο $\displaystyle \frac{{(ABC)}}{{(KLM)}}.$

vgreco · #2

george visvikis έγραψε: Τετ Απρ 26, 2023 2:05 pm Το τρίγωνο με είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και

είναι τα μέσα των μικρών τόξων $\overset\frown{AB}, \overset\frown{BC},\overset\frown{CA}.$ Να υπολογίσετε το λόγο $\displaystyle \frac{{(ABC)}}{{(KLM)}}.$

Επειδή:

$\displaystyle{ R = \dfrac{abc}{4\sqrt{\tau (\tau - a) (\tau - b) (\tau - c)}} \Leftrightarrow \boxed{R = \dfrac{8 \sqrt7}{7}} }$

θα είναι (ν. ημιτόνων):

$\displaystyle{ \bullet \ \sin{\widehat{A}} = \dfrac{5 \sqrt 7}{16} \quad \quad \bullet \ \sin{\widehat{B}} = \dfrac{3 \sqrt 7}{ 8} \quad \quad \bullet \ \sin{\widehat{C}} = \dfrac{ \sqrt 7}{ 4} }$

Κι έτσι (όπου

η ακτίνα του κύκλου):

$\displaystyle{ \begin{aligned} \dfrac{(ABC)}{(KLM)} = \dfrac{ 2R^2 \sin\widehat{A} \cdot \sin\widehat{B} \cdot \sin\widehat{C} } { 2R^2 \cos\dfrac{\widehat{A}}{2} \cdot \cos\dfrac{\widehat{B}}{2} \cdot \cos\dfrac{\widehat{C}}{2} } = \dfrac{ \ \ \ \ \sin\widehat{A} \cdot \sin\widehat{B} \cdot \sin\widehat{C} \ \ \ \ } { \dfrac{\sin\widehat{A} + \sin\widehat{B} + \sin\widehat{C} } {4} } &= 4 \cdot \dfrac{ \sin\widehat{A} \cdot \sin\widehat{B} \cdot \sin\widehat{C} } { \sin\widehat{A} + \sin\widehat{B} + \sin\widehat{C} } \\ &= \dfrac{ \ \ \ \dfrac{15 \cdot 7\sqrt7 }{8 \cdot 16} \ \ \ }{ \dfrac{15 \sqrt7}{16} } \boxed{=\dfrac{7}{8}} \end{aligned} }$

Με κορυφές τα μέσα τόξων

Με κορυφές τα μέσα τόξων

Re: Με κορυφές τα μέσα τόξων

Μέλη σε σύνδεση