Διαφορά λόγω διχοτόμησης

KARKAR · #1

: Διαφορά λόγω διχοτόμησης.png (10.53 KiB) Προβλήθηκε 733 φορές

Το ισοσκελές τρίγωνο ABC , ( AB=AC )

, έχει βάση BC=a

. Το τρίγωνο AZE

του οποίου

οι κορυφές Z , E

, είναι τα ίχνη των υψών

και

αντίστοιχα , έχει εμβαδόν ίσο με το μισό του

( ABC )

. Αν το ύψος

, τέμνει την

στο σημείο

, υπολογίστε την διαφορά AS-SD

.

Γιώργος Μήτσιος · #2

Καλό βράδυ και Καλό μήνα!

Θέτω σε απόκρυψη σχήμα μόνο , με την πρόθεση (δέσμευση αν δεν καλυφθεί το θέμα ) να επανέλθω..

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Κατασκευή: Κατασκευάζω το ημικύκλιο διαμέτρου BDC=a

και έστω

ο βόρειος πόλος. Η διχοτόμος της $N\widehat DB$ τέμνει

το ημικύκλιο στο

και η

την

στην τρίτη κορυφή

του τριγώνου. Στη συνέχεια συμπληρώνω το σχήμα.

: Διαφορά λόγω διχοτόμησης.png (12.05 KiB) Προβλήθηκε 675 φορές

Απόδειξη: Προφανώς το τρίγωνο ABC

είναι ισοσκελές με ύψη AD, BE, CZ.

Επειδή εκ κατασκευής

$Z\widehat DE=90^\circ,$ η

είναι πλευρά τετραγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας $\dfrac{a}{2}.$ Άρα $ZE=\dfrac{a\sqrt 2}{2}.$

Επομένως, $\displaystyle \frac{{(AZE)}}{{(ABC)}} = \frac{{Z{E^2}}}{{{a^2}}} = \frac{1}{2}$ και ολοκληρώνεται η απόδειξη.

Στην άσκησή μας τώρα, $\displaystyle SD = ZS = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}$ και $\displaystyle \frac{{AS}}{{AD}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

$\displaystyle \frac{{AS}}{{SD}} = \sqrt 2 + 1 \Leftrightarrow \frac{{AS - SD}}{{SD}} = \sqrt 2 \Leftrightarrow$ $\boxed{AS - SD = \frac{a}{2}}$

Γιώργος Μήτσιος · #4

Kαλημέρα!
Επανέρχομαι για την υποβολή λύσης σύμφωνα με το σχήμα:

: 4-5 Διαφορά...png (195.13 KiB) Προβλήθηκε 627 φορές

Θεωρώ $F \in AS$ με FS=SD

Από τα ίσα τρίγωνα ABE,ZAC

προκύπτουν AZ=AE

και $ASD \perp ZE \parallel BC$ .

Έχουμε $2=\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( ZAE \right )}=\left (\dfrac{AC}{AE} \right ) ^2\Rightarrow AB=AC=AE\sqrt{2}$ . Τότε το τρίγωνο ABC

έχει $\widehat{A}=45^o$ και $\widehat{B}=\widehat{C}=67,5^o$ .

Στα ορθ BEC,BZC

οι διάμεσοι ED=BC/2=ZD

σχηματίζουν ισοσκελή τρίγωνα. Εύκολα προκύπτουν οι γωνίες του σχήματος.

Στο DE FZ

οι διαγώνιες ZE,FD

διχοτομούνται και είναι κάθετες , ενώ $\widehat{ZDE}=90^o$ συνεπώς το DE FZ

είναι τετράγωνο.

Έτσι βρίσκουμε $AS-SD=AF=FZ=ZD=BD=\dfrac{a}{2}$ . Φιλικά, Γιώργος

Διαφορά λόγω διχοτόμησης

Διαφορά λόγω διχοτόμησης

Re: Διαφορά λόγω διχοτόμησης

Re: Διαφορά λόγω διχοτόμησης

Re: Διαφορά λόγω διχοτόμησης

Μέλη σε σύνδεση