Ίσες γωνίες και ίσα τμήματα

KARKAR · #1

: Ίσες γωνίες και ίσα τμήματα.png (14.41 KiB) Προβλήθηκε 692 φορές

Το σημείο

είναι το μέσο της πλευράς

, του ορθογωνίου ABCD

. Στην προέκταση του

θεωρούμε σημείο

και φέρουμε τα τμήματα

και

, με το τελευταίο να τέμνει την πλευρά

στο σημείο

. Ονομάζω

την τομή των MC , BP

.

α) Δείξτε ότι η πλευρά

διχοτομεί την γωνία $\widehat{PBS}$ .

β) Αν επιπλέον είναι AB=8 , BC=3

, βρείτε την θέση του

, ώστε να είναι : MT=CS

.

STOPJOHN · #2

KARKAR έγραψε: Δευ Μάιος 08, 2023 12:13 pm Ίσες γωνίες και ίσα τμήματα.pngΤο σημείο είναι το μέσο της πλευράς , του ορθογωνίου . Στην προέκταση του

θεωρούμε σημείο και φέρουμε τα τμήματα και , με το τελευταίο να τέμνει την πλευρά

στο σημείο . Ονομάζω την τομή των .

α) Δείξτε ότι η πλευρά διχοτομεί την γωνία $\widehat{PBS}$ .

β) Αν επιπλέον είναι , βρείτε την θέση του , ώστε να είναι : .

α) $PC//AB\Rightarrow \dfrac{PC}{AM}=\dfrac{SC}{SM}=\dfrac{CE}{MB}\Rightarrow RC=CE,BC\perp DC \Rightarrow PB=BE,\hat{PBC}=\hat{CBE}$

β) Εστω ότι

MT=CS=t,

,MC=5,TC=5-t,(*)

$\dfrac{2CE}{8}=\dfrac{t}{t+5}\Rightarrow CE=PC=\dfrac{4t}{t+5}, \dfrac{PC}{4}=\dfrac{CT}{t}\Rightarrow CT=\dfrac{t^{2}}{t+5},$

οπότε $5-t=\dfrac{t^{2}}{t+5}\Rightarrow t=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$

#3

KARKAR έγραψε: Δευ Μάιος 08, 2023 12:13 pm Ίσες γωνίες και ίσα τμήματα.pngΤο σημείο είναι το μέσο της πλευράς , του ορθογωνίου . Στην προέκταση του

θεωρούμε σημείο και φέρουμε τα τμήματα και , με το τελευταίο να τέμνει την πλευρά

στο σημείο . Ονομάζω την τομή των .

α) Δείξτε ότι η πλευρά διχοτομεί την γωνία $\widehat{PBS}$ .

β) Αν επιπλέον είναι , βρείτε την θέση του , ώστε να είναι : .

Η από το

παράλληλη στην

τέμνει την

στο

, Στο $\vartriangle SAB$ , η

είναι διάμεσος και η SE//AB

.

Συνεπώς η τετράδα : $\left( {E,T\backslash P,B} \right)$ είναι αρμονική , οπότε και η $\left( {M,C\backslash T,S} \right)$ είναι αρμονική.

: Ίσες γωνίες και ισα τμήματα.png (14.86 KiB) Προβλήθηκε 660 φορές

Αφού όμως $CB \bot BA$ στο $\vartriangle MBT$ η

είναι εσωτερική διχοτόμος και η

εξωτερική.

Η αρμονική αναλογία δίδει: $\dfrac{{TC}}{{TM}} = \dfrac{{SC}}{{SM}} \Rightarrow \dfrac{x}{k} = \dfrac{k}{{k + 5}}\,\,\left( 1 \right)$ .

Αλλά $x + k = 5 \Rightarrow x = 5 - k$ και με αντικατάσταση στην $\left( 1 \right)$ έχω: $5 - k = \dfrac{{{k^2}}}{{5 + k}} \Rightarrow \boxed{k = \dfrac{5}{{\sqrt 2 }}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: Δευ Μάιος 08, 2023 12:13 pm Ίσες γωνίες και ίσα τμήματα.pngΤο σημείο είναι το μέσο της πλευράς , του ορθογωνίου . Στην προέκταση του

θεωρούμε σημείο και φέρουμε τα τμήματα και , με το τελευταίο να τέμνει την πλευρά

στο σημείο . Ονομάζω την τομή των .

α) Δείξτε ότι η πλευρά διχοτομεί την γωνία $\widehat{PBS}$ .

β) Αν επιπλέον είναι , βρείτε την θέση του , ώστε να είναι : .

a)

άρα από θ.κ.δέσμης PC=CN

και το ζητούμενο είναι άμεσο.

b)Με Π.Θ παίρνουμε MT=CS=5

και είναι $\dfrac{x}{5-x}= \dfrac{MB}{PC}= \dfrac{MA}{PC}= \dfrac{MC}{MS}=\dfrac{5+x}{x} \Rightarrow x= \dfrac{5}{ \sqrt{2} }$

: Ίσες γωνίες και ίσα τμήματα.png (8.37 KiB) Προβλήθηκε 609 φορές

Ίσες γωνίες και ίσα τμήματα

Ίσες γωνίες και ίσα τμήματα

Re: Ίσες γωνίες και ίσα τμήματα

Re: Ίσες γωνίες και ίσα τμήματα

Re: Ίσες γωνίες και ίσα τμήματα

Μέλη σε σύνδεση