Τραπεζιακά προβλήματα

KARKAR · #1

: Τραπεζιακά προβλήματα.png (13.27 KiB) Προβλήθηκε 638 φορές

Το τραπέζιο ABCD

έχει βάσεις : AD=3 , BC=13

και ύψος

. Οι μεσοκάθετοι των AB , DC

τέμνουν την βάση

στα σημεία S , T

αντίστοιχα , έτσι ώστε το

να μην βρεθεί δεξιότερα του

.

α) Βρείτε το μέγιστο μήκος του

... β) Πότε έχουμε : ST=3

... γ) Πότε το

συμπίπτει με το

;

vgreco · #2

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιούλ 01, 2023 12:53 pm Τραπεζιακά προβλήματα.pngΤο τραπέζιο έχει βάσεις : και ύψος . Οι μεσοκάθετοι των

τέμνουν την βάση στα σημεία αντίστοιχα , έτσι ώστε το να μην βρεθεί δεξιότερα του .

α) Βρείτε το μέγιστο μήκος του ... β) Πότε έχουμε : ... γ) Πότε το συμπίπτει με το ;

: trapeziaka_problimata.png (16.22 KiB) Προβλήθηκε 512 φορές

Η ευθεία

τέμνει τον οριζόντιο άξονα στο σημείο $S \left( \dfrac{a^2 + 16}{2a}, 0 \right)$ ,

ενώ η ευθεία NT: (20 - 2a)x - 8y + a^2 + 6a - 144 = 0

στο σημείο $T\left( \dfrac{a^2 + 6a - 144}{2a - 20}, 0 \right)$ .

α) Προφανώς

$\displaystyle{ ST = \dfrac{a^2 + 6a - 144}{2a - 20} - \dfrac{a^2 + 16}{2a} \Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow \boxed{ST = \dfrac{80}{(a - 10) a} + 8} }$

Όμως $a(a - 10) \geq -25$ , απ' όπου $ST \leq -\dfrac{80}{25} + 8 = \boxed{\dfrac{24}{5}}$ (αφού $a \leq 10$ ) με την ισότητα να ισχύει όταν το ABCD

είναι ισοσκελές τραπέζιο.

β) $\displaystyle{ ST = 3 \Leftrightarrow \dfrac{80}{(a - 10) a} + 8 = 3 \Leftrightarrow a^2 - 10a + 16 = 0 \Leftrightarrow \boxed{a = 2 \lor a = 8} }$

γ) $\displaystyle{ ST = 0 \Leftrightarrow \dfrac{80}{(a - 10) a} + 8 = 0 \Leftrightarrow a^2 - 10a + 10 = 0 \Leftrightarrow \boxed{a = 5 \pm \sqrt{15}} }$

Τραπεζιακά προβλήματα

Τραπεζιακά προβλήματα

Re: Τραπεζιακά προβλήματα

Μέλη σε σύνδεση