Όμορφη ομοιότητα

KARKAR · #1

: Όμορφη ομοιότητα.png (42.23 KiB) Προβλήθηκε 719 φορές

Οι (άνισοι) κύκλοι (O)

και

τέμνονται στα σημεία A , B

. Τμήμα

με άκρα στους δύο κύκλους

διέρχεται από το

. Οι μεσοκάθετοι των BS , BP

τέμνουν τους οικείους κύκλους στα σημεία C , C'

και

. Αν

είναι το μέσο του

, δείξτε ότι τα τρίγωνα MCD

και

είναι όμοια .

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Ιούλ 28, 2023 9:39 am Όμορφη ομοιότητα.pngΟι (άνισοι) κύκλοι και τέμνονται στα σημεία . Τμήμα με άκρα στους δύο κύκλους

διέρχεται από το . Οι μεσοκάθετοι των τέμνουν τους οικείους κύκλους στα σημεία

και . Αν είναι το μέσο του , δείξτε ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια .

$\bullet$ Είναι $\angle SCB\overset{S,C,B,A\in \left( O \right)}{\mathop{=}}\,\angle BAP\overset{B,A,D,P\in \left( K \right)}{\mathop{=}}\,\angle BDP$ οπότε τα ισοσκελή τρίγωνα (λόγω των μεσοκαθέτων) $\vartriangle {C}'SB,\vartriangle DBP$ είναι όμοια και άρα $\angle SA{C}'\overset{S,A,B,{C}'\in \left( O \right)}{\mathop{=}}\,\angle SB{C}'\overset{\vartriangle {C}'SB\sim \vartriangle {D}'PB}{\mathop{=}}\,\angle DBP\overset{A,B,D,P\in \left( K \right)}{\mathop{=}}\,\angle PAD\overset{S,A,P\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \upsilon \theta \varepsilon \iota \alpha \kappa \alpha }{\mathop{\Rightarrow }}\,{C}',A,D$ συνευθειακά και με όμοιο τρόπο προκύπτει και η συνευθειακότητα των σημείων {D}',A,C

αλλά τότε με $\angle CA{C}'={{90}^{0}}$ (λόγω της διαμέτρου C{C}'

του $\left( O \right)$ θα είναι και $D{C}'\bot {D}'C$

: όμορφη ομοιότητα..png (71.17 KiB) Προβλήθηκε 681 φορές

$\bullet$ Έστω

το συμμετρικό του

ως προς το μέσο

της

. Τότε από το σχηματιζόμενο παραλληλόγραμμο SCPE

(οι διαγώνιες διχοτομούνται) θα έχουμε: $\angle ASC=\angle SPE:\left( 1 \right)$ (εντός εναλλάξ) και $PE=CS=CB:\left( 2 \right)$

$\bullet$ Οπότε $\angle ABC\overset{A,C,S,B\in \left( O \right)}{\mathop{=}}\,\angle ASC\overset{\left( 1 \right)}{\mathop{=}}\,\angle APE\overset{\angle ABD\overset{A,D,P,B\in \left( K \right)}{\mathop{=}}\,\angle DPA}{\mathop{\Rightarrow }}\,\angle CBD=\angle EPD:\left( 3 \right)$ και με BC=PE,BD=PD

(από τη σχέση $\left( 2 \right)$ και την μεσοκάθετη της

) σύμφωνα με το κριτήριο (Π – Γ – Π) προκύπτει ότι $\vartriangle BCD=\vartriangle PED\Rightarrow DC=DE\overset{MC=ME}{\mathop{\Rightarrow }}\,DM\bot CE$ και με όμοιο τρόπο προκύπτει ότι και ${C}'M\bot {D}'M$ αλλά τότε από την καθετότητα $D{C}'\bot {D}'C\left( D{C}'\cap {D}'C\equiv A \right)$ προκύπτει ότι τα τετράπλευρα AMDC,AM{D}'{C}'

είναι εγγράψιμα σε κύκλους διαμέτρων CD,{C}'{D}'

αντίστοιχα, οπότε

$\angle MCD\overset{A,M,D,C\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle MAD\overset{A,M,{D}',{C}'\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle M{D}'{C}'$ $\overset{\angle CMD=\angle {C}'M{D}'={{90}^{0}}}{\mathop{\Rightarrow }}\,\vartriangle CMD\sim \vartriangle {C}'M{D}'$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: Παρ Ιούλ 28, 2023 9:39 am Όμορφη ομοιότητα.pngΟι (άνισοι) κύκλοι και τέμνονται στα σημεία . Τμήμα με άκρα στους δύο κύκλους

διέρχεται από το . Οι μεσοκάθετοι των τέμνουν τους οικείους κύκλους στα σημεία

και . Αν είναι το μέσο του , δείξτε ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια .

Θα αποδείξουμε ότι η γωνία CMD

είναι ορθή (με όμοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι και η γωνία C’MD’

είναι ορθή)

Με

συμμετρικό του

ως προς

το

είναι παραλ/μμο άρα DP=QS

και $\angle P_{1} = \angle B_{1} = \angle S_{1}$

Ακόμη $\angle S_{2}= \angle B_{2}$ άρα $\angle QSC= \angle DBC$ και CS=CB

,συνεπώς τα τρίγωνα

QCS,BDC

είναι ίσα,οπότε CD=CQ

άρα $\angle DMC=90^0$

: όμορφη ομοιότητα 1.png (42.32 KiB) Προβλήθηκε 574 φορές

Επειδή

η

είναι διχοτόμος της $\angle BAS$ και για τον ίδιο λόγο η AD’

είναι

διχοτόμος της $\angle BAP$ οπότε $\angle C'AD'=90^0$

Όμως και $\angle CAC'= \angle DAD'=90^0$ επομένως τα C,A,D’

είναι συνευθειακά ,όπως

και τα D,A,C’

και το

είναι εγγράψιμμο.

Επειδή και AMC’D’

εγγράψιμμο ,οι μπλε οξείες γωνίες είναι ίσες και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

: όμορφη ομοιότητα.png (52.56 KiB) Προβλήθηκε 574 φορές

Όμορφη ομοιότητα

Όμορφη ομοιότητα

Re: Όμορφη ομοιότητα

Re: Όμορφη ομοιότητα

Μέλη σε σύνδεση