Ορθογώνιο σε τετράγωνο

KARKAR · #1

: Ορθογώνιο σε τετράγωνο.png (43.19 KiB) Προβλήθηκε 823 φορές

Στην πλευρά

του τετραγώνου ABCD

κινείται σημείο

. Οι προεκτάσεις των AS , DS

τέμνουν τις προεκτάσεις των πλευρών DC , AB

στα σημεία P , T

αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι το εμβαδόν του τριγώνου PST

είναι σταθερό .

β) Βρείτε τη θέση του

, για την οποία η γωνία $\widehat{SPT}$ γίνεται ορθή .

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 21, 2023 2:08 pm Ορθογώνιο σε τετράγωνο.pngΣτην πλευρά του τετραγώνου κινείται σημείο . Οι προεκτάσεις των

τέμνουν τις προεκτάσεις των πλευρών στα σημεία αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι το εμβαδόν του τριγώνου είναι σταθερό .

β) Βρείτε τη θέση του , για την οποία η γωνία $\widehat{SPT}$ γίνεται ορθή .

: Ορθογώνιο σε τετράγωνο.Κ.png (14.46 KiB) Προβλήθηκε 790 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 21, 2023 2:08 pm Ορθογώνιο σε τετράγωνο.pngΣτην πλευρά του τετραγώνου κινείται σημείο . Οι προεκτάσεις των

τέμνουν τις προεκτάσεις των πλευρών στα σημεία αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι το εμβαδόν του τριγώνου είναι σταθερό .

β) Βρείτε τη θέση του , για την οποία η γωνία $\widehat{SPT}$ γίνεται ορθή .

α)

: Ορθογώνιο σε τετράγωνο_a.png (17.91 KiB) Προβλήθηκε 780 φορές

Η από το

παράλληλη στο

τέμνει την $AB\,$ στα

. Προφανώς $\left( {PSQ} \right) = \left( {PEQ} \right) = \dfrac{1}{2}ax\,\,\left( 1 \right)$ .

Η από το

παράλληλη στην

τέμνει τις $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PQ$ στα $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ και είναι KS = SL = EQ = x = a

και άρα $\left( {PEQ} \right) = \dfrac{1}{2}{a^2}$ .

Άρα λόγω της $\left( 1 \right)$ , $\boxed{\left( {PSQ} \right) = \dfrac{1}{2}{a^2}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 21, 2023 2:08 pm Ορθογώνιο σε τετράγωνο.pngΣτην πλευρά του τετραγώνου κινείται σημείο . Οι προεκτάσεις των

τέμνουν τις προεκτάσεις των πλευρών στα σημεία αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι το εμβαδόν του τριγώνου είναι σταθερό .

β) Βρείτε τη θέση του , για την οποία η γωνία $\widehat{SPT}$ γίνεται ορθή .

Χωρίς να βλάπτεται η γενικότητα,έστω a=1

η πλευρά του τετραγώνου

Α)Στο τραπέζιο DPQA

ισχύει $(PSQ)=(DSA)= \dfrac{(ABCD)}{2}= \dfrac{1}{2}$

B)Έστω BS=x

.Λόγω της ισότητας των μπλε γωνιών κι επειδή AB=QI=1

τα τρίγωνα

ABS,PIQ

είναι ίσα,άρα $PQ=AS= \sqrt{1+x^2}$

Είναι, $\dfrac{1}{m}= \dfrac{1-x}{x} \Rightarrow m= \dfrac{x}{1-x} \Rightarrow AQ=1+m= \dfrac{1}{1-x}$

Ισχύει , $2(ASQ)=AS.PQ=BS.AQ \Rightarrow AS^2=BS.AQ \Rightarrow (1+x^2)(1-x)=x\Leftrightarrow x^3-x^2+2x-1=0$

με $x\approx 0.57$

: ορθογώνιο σε τετράγωνο.png (15.36 KiB) Προβλήθηκε 743 φορές

#5

Αλλιώς για το α).

: Ορθογώνιο σε τετράγωνο.Κ.png (14.46 KiB) Προβλήθηκε 715 φορές

$\displaystyle \frac{{DS}}{{ST}} = \frac{{PS}}{{SA}} \Leftrightarrow ST \cdot PS = DS \cdot SA \Leftrightarrow$ $\boxed{(PST)=(SAD)=\frac{a^2}{2}}$

To β) όπως ο Μιχάλης (με μικρές διαφορές στους συμβολισμούς).

#6

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 21, 2023 2:08 pm Ορθογώνιο σε τετράγωνο.pngΣτην πλευρά του τετραγώνου κινείται σημείο . Οι προεκτάσεις των

τέμνουν τις προεκτάσεις των πλευρών στα σημεία αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι το εμβαδόν του τριγώνου είναι σταθερό .

β) Βρείτε τη θέση του , για την οποία η γωνία $\widehat{SPT}$ γίνεται ορθή .

β)
Ας είναι

η προβολή του

στην

. Προφανές ότι $\vartriangle TQP = \vartriangle BSA \Rightarrow AS = PQ = y$ . Έστω ακόμα $PS = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SB = k < a$ . Θα ισχύουν:

: Ορθογώνιο σε τετράγωνο_b.png (14.25 KiB) Προβλήθηκε 706 φορές

$\left\{ \begin{gathered} xy = {a^2} \hfill \\ {y^2} = {a^2} + {k^2} \hfill \\ \tan \theta \tan \omega \tan \phi = \tan \theta + \tan \omega + \tan \phi \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} xy = {a^2}\,\,\left( 1 \right) \hfill \\ {y^2} = {a^2} + {k^2}\,\,\left( 2 \right) \hfill \\ \frac{y}{x} = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} - ak + {k^2}}}\,\left( 3 \right) \hfill \\ k = au\,\,\,\left( 4 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow u\left( {{u^3} - {u^2} + 2u - 1} \right) = 0$

(Πολλαπλασιάζω , $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 3 \right)$ και αντικαταστώ μετά τις $\left( 2 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 4 \right)$ )

Η τελευταία εξίσωση έχει λύση : $\boxed{\frac{k}{a} = u = \sqrt[3]{{\frac{{\sqrt {69} }}{{18}} + \frac{{11}}{{54}}}} - \sqrt[3]{{\frac{{\sqrt {69} }}{{18}} - \frac{{11}}{{54}}}} + \frac{1}{3}}$ .

Ορθογώνιο σε τετράγωνο

Ορθογώνιο σε τετράγωνο

Re: Ορθογώνιο σε τετράγωνο

Re: Ορθογώνιο σε τετράγωνο

Re: Ορθογώνιο σε τετράγωνο

Re: Ορθογώνιο σε τετράγωνο

Re: Ορθογώνιο σε τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση