Μέγιστο τετράπλευρο με άγνωστη πλευρά

[Al.Koutsouridis]

Δυο πλευρές ενός κυρτού τετράπλευρου έχουν μήκος , άλλη μία μήκος και το εμβαδόν του είναι το μέγιστο δυνατό υπό αυτές τις συνθήκες. Ποιό είναι το μήκος της τέταρτης πλευράς του τετράπλευρου;

(Για Γ' Λυκείου)

[KARKAR]

Αρχικά διατυπώνουμε τρεις προτάσεις , που έχουν συζητηθεί εδώ ( η πρώτη μπορεί να δειχθεί από μαθητές )

Το εμβαδόν οποιουδήποτε εγγραψίμου τετραπλεύρου με πλευρές , είναι ανεξάρτητο

από την σειρά με την οποία τοποθετούνται οι πλευρές .

Το εμβαδόν οποιουδήποτε τετραπλεύρου με πλευρές , γίνεται μέγιστο όταν αυτό

καταστεί εγγράψιμο .

Αν είναι γνωστές οι τρείς πλευρές ενός τετραπλεύρου , το εμβαδόν του καθίσταται μέγιστο ,

όταν η τέταρτη πλευρά καταστεί διάμετρος του περικύκλου του .

Αξιοποιώντας τα παραπάνω ( έστω μερικά από αυτά ) , οδηγούμαστε στο παρακάτω σχήμα , απ' όπου :

Τραπέζιο.png (14.83 KiB) Προβλήθηκε 632 φορές

, οπότε :

για : ή ( τέταρτη πλευρά ) : .

[Al.Koutsouridis]

Αρχικά διατυπώνουμε τρεις προτάσεις , που έχουν συζητηθεί εδώ ( η πρώτη μπορεί να δειχθεί από μαθητές )

Το εμβαδόν οποιουδήποτε εγγραψίμου τετραπλεύρου με πλευρές , είναι ανεξάρτητο

από την σειρά με την οποία τοποθετούνται οι πλευρές .

Το εμβαδόν οποιουδήποτε τετραπλεύρου με πλευρές , γίνεται μέγιστο όταν αυτό

καταστεί εγγράψιμο .

Αν είναι γνωστές οι τρείς πλευρές ενός τετραπλεύρου , το εμβαδόν του καθίσταται μέγιστο ,

όταν η τέταρτη πλευρά καταστεί διάμετρος του περικύκλου του .

Αξιοποιώντας τα παραπάνω ( έστω μερικά από αυτά ) , οδηγούμαστε στο παρακάτω σχήμα , απ' όπου : Τραπέζιο.png

, οπότε :

για : ή ( τέταρτη πλευρά ) : .

Σωστά! Απλά να σημειώσουμε, για όσα παιδιά θέλουν να ασχοληθούν, οτι το (2) δε χρειάζεται στην συγκεκριμμένη περίπτωση. Το δε (3), δεν χρειάζεται κάποια εξωσχολική γνώση να αποδειχθεί.