Τέσσερα τετράγωνα

KARKAR · #1

: Τέσσερα τετράγωνα.png (17.31 KiB) Προβλήθηκε 816 φορές

Ένα ευθύγραμμο τμήμα

έχει τα άκρα του στους ημιάξονες Ox , Oy

. Με τα σημεία P,Q , S , T

, χωρίζουμε

το

σε πέντε ίσα τμήματα . Αν : OP^2+OQ^2+OS^2+OT^2=120

, υπολογίστε το μήκος του

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 04, 2023 11:33 am
Τέσσερα τετράγωνα.pngΈνα ευθύγραμμο τμήμα έχει τα άκρα του στους ημιάξονες . Με τα σημεία , χωρίζουμε

το σε πέντε ίσα τμήματα . Αν : , υπολογίστε το μήκος του .

Περιγραφικά. Είναι a^2+b^2=25x^2

και

: 4 τετράγωνα.Κ.png (11.32 KiB) Προβλήθηκε 774 φορές

Με θεωρήματα διαμέσων στα τρίγωνα OAQ, OPS, OQT, OSB

και πρόσθεση κατά μέλη, βρίσκω $\boxed{OP^2+OT^2=17x^2}$

Ομοίως το ίδιο και για τα τρίγωνα OAT, OBP

απ' όπου $\boxed{OP^2+OT^2=80-3x^2}$

Άρα, x=2

και $\boxed{AB=10}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 04, 2023 11:33 am
Τέσσερα τετράγωνα.pngΈνα ευθύγραμμο τμήμα έχει τα άκρα του στους ημιάξονες . Με τα σημεία , χωρίζουμε

το σε πέντε ίσα τμήματα . Αν : , υπολογίστε το μήκος του .

Με συντεταγμένες έχουμε $A(5a,0), \, B(0,5b)$ . Έπεται από όμοια τρίγωνα ότι τότε $P(4a,b), \, Q(3a,2b), \, S(2a,3b), \,T(a,4b)$ .

H δοθείσα σχέση γράφεται (16a^2+b^2) +(9a^2+4b^2)+(4a^2+9b^2)+(a^2+16b^2) = 120

, ισοδύναμα 30(a^2+b^2)= 120

ή αλλιώς

.

Έπεται ότι $AB= \sqrt {OA^2+OB^2}= \sqrt {25 a^2+25b^2}= \sqrt {100} =10$ .
.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 04, 2023 11:33 am
Τέσσερα τετράγωνα.pngΈνα ευθύγραμμο τμήμα έχει τα άκρα του στους ημιάξονες . Με τα σημεία , χωρίζουμε

το σε πέντε ίσα τμήματα . Αν : , υπολογίστε το μήκος του .

Ας είναι

το μέσο της υποτείνουσας AB = 10x

. Άρα

Από Θ διαμέσων στα $\vartriangle OSQ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle OTP$ έχω:

: τέσσερα τετράγωνα.png (40.55 KiB) Προβλήθηκε 703 φορές

$\left\{ \begin{gathered} O{S^2} + O{Q^2} = 50{x^2} + 2{x^2} \hfill \\ O{T^2} + O{P^2} = 50{x^2} + 18{x^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Άρα : $120 = 120{x^2} \Rightarrow x = 1 \Rightarrow AB = 10$

Τέσσερα τετράγωνα

Τέσσερα τετράγωνα

Re: Τέσσερα τετράγωνα

Re: Τέσσερα τετράγωνα

Re: Τέσσερα τετράγωνα

Μέλη σε σύνδεση