Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και κύκλος

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 25, 2024 1:34 am
Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο .png

Δίνεται ορθογώνιο με πλευρές $\left( {OM} \right) = \left( {AH} \right) = b$ και $\left( {OA} \right) = \left( {MH} \right) = a$ ,

όπου . Με κέντρο την κορυφή και ακτίνα την κατασκευάζουμε κύκλο

και στη συνέχεια φέρνουμε τις εφαπτόμενες και στον παραπάνω κύκλο.

Εάν και είναι τα σημεία τομής των και με την , αντίστοιχα, τότε:

(1) Να δεχτεί ότι $\left( {MO} \right) = \left( {MB} \right) = \left( {MC} \right)$ .

(2) Να υπολογιστεί το γινόμενο $\left( {AB} \right)\left( {AC} \right)$ .

(3) Να υπολογιστεί η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου

συναρτήσει των $a,\,\,b$ .

(4) Να βρεθεί η σχέση η οποία πρέπει να συνδέει τα $a,\,\,b$ , ώστε το τρίγωνο

να είναι ισόπλευρο.

α) Οι κίτρινες γωνίες είναι όλες ίσες οπότε MB = MC

.

Αλλά το τετράπλευρο OACT'

είναι χαρταετός γιατί το

ισαπέχει των $CA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CT'$ και άρα

η

διχοτομεί την $\widehat {ACT'}$ και έτσι MO = MC

β) γράφω τον κύκλο $\left( {M,B,C} \right)$ και εφάπτεται της

. Από τη δύναμη του

σ αυτόν τον κύκλο έχω : $AB \cdot AC = {a^2}$

: Ορθογώνιο παρ και κύκλος.png (20.42 KiB) Προβλήθηκε 589 φορές

Όντως : ταυτόχρονα ισχύουν : $x + y = b\,\,\kappa \alpha \iota \,\,x + k = b \Rightarrow k = y$ έτσι :

$AB \cdot AC = x\left( {x + 2y} \right) = \left( {b - y} \right)\left( {b + y} \right) = {b^2} - {k^2} = {a^2}$ ( δύναμη του

στον $\left( {O,a} \right)$ .

γ) Επειδή $\beta \gamma = 2{\rm P}{\upsilon _\alpha }$ έχω : ${b^2} - 2Ra \Rightarrow \boxed{R = \frac{{{b^2}}}{{2a}}}$

δ) το $\vartriangle MBC$ είναι ισόπλευρο αν $\displaystyle \boxed{BC = R\sqrt 3 \Rightarrow 2y = \frac{{{b^2}}}{{2a}}\sqrt 3 \Rightarrow 2\sqrt {{b^2} - {a^2}} = \frac{{{b^2}\sqrt 3 }}{{2a}}}$

Στην πιο πάνω θέτω $a = \sqrt t \,\,,t > 0$ και προκύπτει : $16{t^2} - 16{b^2}t + 3{b^4} = 0$ που έχει ρίζες : $\boxed{t = \frac{{3{b^2}}}{4}}$ είτε $\boxed{t = \frac{{{b^2}}}{4}}$ ή $\left\{ \begin{gathered} b = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }} \hfill \\ b = 2a \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Στην πρώτη περίπτωση έχω ισόπλευρο τρίγωνο ενώ στην άλλη έχω ισοσκελές , $\left( {120^\circ ,30^\circ ,30^\circ } \right)$ .

Π.χ. αν επιλέξω a = 4

έχω $b = \dfrac{8}{{\sqrt 3 }}$ είτε b = 8

και απορρίπτεται.

: Ορθογώνιο και κύκλος_4 ερώτημα.png (37.17 KiB) Προβλήθηκε 569 φορές

: Ορθογώνιο και κύκλος_4 ερώτημα_αποτυχία ισοπλεύρου.png (27.28 KiB) Προβλήθηκε 553 φορές

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και κύκλος

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και κύκλος

Re: Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και κύκλος

Μέλη σε σύνδεση