Με στόχο το ένα

KARKAR · #1

: Με στόχο το ένα.png (17.63 KiB) Προβλήθηκε 577 φορές

Από σημείο

της προέκτασης της διαμέτρου

, ενός κύκλου , φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ST , SP

.

Στην χορδή

, θεωρούμε σημείο

, τέτοιο ώστε : $TM=\dfrac{TP}{4}$ . Η

τέμνει τον κύκλο στο σημείο

.
α) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{QT}{QP}$ . Φέρουμε την

, η οποία τέμνει την

, στο σημείο

. Αν :

:

β) Για ποια θέση του

, θα προκύψει : MN=1

;

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: Κυρ Μαρ 03, 2024 10:42 am Με στόχο το ένα.pngΑπό σημείο της προέκτασης της διαμέτρου , ενός κύκλου , φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα .

Στην χορδή , θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε : $TM=\dfrac{TP}{4}$ . Η τέμνει τον κύκλο στο σημείο .
α) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{QT}{QP}$ . Φέρουμε την , η οποία τέμνει την , στο σημείο . Αν : :

β) Για ποια θέση του , θα προκύψει : ;

Αν $BQ \cap AE=D$ το

είναι ορθόκεντρο του τριγώνου ABD

και προφανώς D,T,C

συνευθειακά

Έστω ακόμη ότι η

τέμνει τον κύκλο στο

Είναι, $\angle AQP= \angle TQA$ άρα η

διχοτομεί την γωνία TQP

επομένως $\dfrac{TQ}{QP}= \dfrac{TN}{NP}$

Στο ορθικό τρίγωνο EQC

του τριγώνου ABD

οι

είναι διχοτόμοι του,συνεπώς

$\angle TQE= \angle ZQP \Rightarrow ET=ZP \Rightarrow ETPZ$ ισοσκελές τραπέζιο

με

μεσοκάθετη των βάσεων και EC=CZ

Ισχύει $\dfrac{QM}{ME}= \dfrac{QC}{CE}= \dfrac{QC}{CZ} (1)$

Αν TM=x

θα είναι

και

,άρα $\dfrac{QM}{QC} . \dfrac{ME}{CZ}= \dfrac{3}{4} (2)$ και

λόγω της $(1) \Rightarrow (\dfrac{MQ}{QC})^2= \dfrac{3}{4} \Rightarrow \dfrac{MQ}{QC}= \dfrac{MN}{NC}= \dfrac{ \sqrt{3} }{2}$

Αλλά MN+NC=x

οπότε εύκολα παίρνουμε $MN=(2\sqrt{3} -3)x$ και $TN=x+(2\sqrt{3} -3)x =2x(\sqrt{3}-1 )$

και $NP=4x-2x(\sqrt{3}-1)=2x(3- \sqrt{3})$

Επομένως $\dfrac{TQ}{QP}= \dfrac{TN}{NP} =\dfrac{ \sqrt{3} -1}{3- \sqrt{3} }= \dfrac{ \sqrt{3} }{3}$

Β)Όταν MN=1

,από την $MN=(2\sqrt{3} -3)x$ παίρνουμε $x=\dfrac{1}{2 \sqrt{3} -3} \Rightarrow TC^2=4x^2= \dfrac{4}{21-12 \sqrt{3} }$

Με R=5

και Π.Θ στο τρίγωνο OTC

εύκολα παίρνουμε $OC= \sqrt{ \dfrac{521-300 \sqrt{3} }{21-12 \sqrt{3} } }$

Φέρνουμε λοιπόν την κάθετη στην διάμετρο στο

που τέμνει τον κύκλο στα P,T

κι έπειτα τις εφαπτόμενες στα P,T

που τέμνονται στο

: με στόχο το 1.png (54.75 KiB) Προβλήθηκε 484 φορές

Με στόχο το ένα

Με στόχο το ένα

Re: Με στόχο το ένα

Μέλη σε σύνδεση