Αχνιστή ισότητα

KARKAR · #1

: Αχνιστή ισότητα.png (14.42 KiB) Προβλήθηκε 213 φορές

Η υποτείνουσα

του ορθογωνίου τριγώνου ABC

είναι διάμετρος ημικυκλίου . Οι διχοτόμοι BD , CE

των οξειών γωνιών του τριγώνου , τέμνονται στο

και η προέκταση της

, τέμνει το τόξο στο σημείο

.

Επιλέξτε τη θέση του σημείου

πάνω στο ημικύκλιο , ώστε τα τμήματα : BI , DS

να προκύψουν ίσα .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 09, 2024 7:41 pm
Αχνιστή ισότητα.pngΗ υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου είναι διάμετρος ημικυκλίου . Οι διχοτόμοι

των οξειών γωνιών του τριγώνου , τέμνονται στο και η προέκταση της , τέμνει το τόξο στο σημείο .

Επιλέξτε τη θέση του σημείου πάνω στο ημικύκλιο , ώστε τα τμήματα : να προκύψουν ίσα .

Ας είναι

,

και

Είναι

(αφού $\angle SAI= \angle SIA=45^0 +\dfrac{B}{2}$ )

Ο Πτολεμαίος στο ASCB

δίνει

$m(a+c)=yb \Rightarrow \dfrac{y}{m}= \dfrac{a+c}{b} \Rightarrow \dfrac{x+m}{m}= \dfrac{a+c}{b} \Rightarrow \dfrac{m}{x} = \dfrac{b}{a+c-b}$

Θεωρώντας $SN \bot AC$ η

θα περάσει από το μέσον

της

και προφανώς $SN= \dfrac{a-c}{2}$

Ο Μενέλαος στο τρίγωνο BSM

με διατέμνουσα DNC

δίνει

$\dfrac{BD}{DS} . \dfrac{SN}{NM} . \dfrac{CM}{CB} =1 \Rightarrow \dfrac{m}{x}. \dfrac{ \dfrac{a-c}{2} }{ \dfrac{c}{2} }. \dfrac{1}{2}=1 \Rightarrow \dfrac{b}{a+c-b}. \dfrac{a-c}{c}=2$

Από την τελευταία με απλές πράξεις παίρνουμε b=2c

: αχνιστή ισότητα.png (13.32 KiB) Προβλήθηκε 159 φορές

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 09, 2024 7:41 pm
Αχνιστή ισότητα.pngΗ υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου είναι διάμετρος ημικυκλίου . Οι διχοτόμοι

των οξειών γωνιών του τριγώνου , τέμνονται στο και η προέκταση της , τέμνει το τόξο στο σημείο .

Επιλέξτε τη θέση του σημείου πάνω στο ημικύκλιο , ώστε τα τμήματα : να προκύψουν ίσα .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος:

$\displaystyle \frac{{BI}}{{ID}} = \frac{{a + c}}{b} \Leftrightarrow ID = \frac{{bx}}{{a + c}} \Rightarrow BD = \frac{{x(a + b + c)}}{{a + c}}$

: Αχνιστή ισότητα.png (17.67 KiB) Προβλήθηκε 142 φορές

$\displaystyle \frac{{SM}}{{AB}} = \frac{{SD}}{{DB}} \Leftrightarrow \frac{{a - c}}{{2c}} = \frac{{x(a + c)}}{{x(a + b + c)}} \Leftrightarrow 2c(a + c) = (a - c)(a + b + c)$

Η τελευταία ισότητα για $b=\sqrt{a^2-c^2}$ δίνει a^2=5c^2,

ή αλλιώς $\boxed{b=2c}$ απ' όπου εντοπίζεται το

Αχνιστή ισότητα

Αχνιστή ισότητα

Re: Αχνιστή ισότητα

Re: Αχνιστή ισότητα

Μέλη σε σύνδεση