Καινούρια τμήματα

KARKAR · #1

: Καινούρια τμήματα.png (11.9 KiB) Προβλήθηκε 171 φορές

Πάνω στην κάθετη στο άκρο

, της διαμέτρου AB=2r

ενός ημικυκλίου , θεωρώ σημείο

, τέτοιο ώστε :

AS=s , (s>r)

και φέρω την εφαπτομένη

, η οποία τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

.

α) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{BT}{PT}$ ... β) Για ποια θέση του

, προκύπτει : AS=PT

;

γ) Υπολογίστε το τμήμα

... δ) Προαιρετικό : Για ποια θέση του

, θα είναι : AS=BT

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 15, 2024 12:22 pm
Καινούρια τμήματα.pngΠάνω στην κάθετη στο άκρο , της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , θεωρώ σημείο , τέτοιο ώστε :

και φέρω την εφαπτομένη , η οποία τέμνει την προέκταση της στο σημείο .

α) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{BT}{PT}$ ... β) Για ποια θέση του , προκύπτει : ;

γ) Υπολογίστε το τμήμα ... δ) Προαιρετικό : Για ποια θέση του , θα είναι : ;

α) Έστω

το κέντρο του ημικυκλίου. Από την ομοιότητα των τριγώνων OPS, SAT

έχω:

$\displaystyle \frac{{TO}}{{TS}} = \frac{{PO}}{{AS}} \Leftrightarrow \frac{{t + r}}{{x + s}} = \frac{r}{s} = \frac{{t + r - r}}{{x + s - s}} \Leftrightarrow$ $\boxed{ \frac{{t}}{{x}} = \frac{r}{s}}$

β) Αφού s=x

θα είναι και t=r

κι επειδή $\displaystyle {x^2} = t(t + 2r) \Leftrightarrow {s^2} = 3{r^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{s=r\sqrt 3}$

: Καινούρια τμήματα.png (14.16 KiB) Προβλήθηκε 121 φορές

γ) $\displaystyle {x^2} = t(t + 2r),\frac{t}{x} = \frac{r}{s}$ και με απαλοιφή του

βρίσκω $\boxed{t = \frac{{2{r^3}}}{{{s^2} - {r^2}}}}$ (1)

$\displaystyle \frac{x}{s} = \frac{t}{r} \Leftrightarrow PB||SO \Rightarrow \frac{{PB}}{{\sqrt {{s^2} + {r^2}} }} = \frac{t}{{t + r}}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{ PB = \frac{{2{r^2}}}{{\sqrt {{r^2} + {s^2}} }}}$

δ) $\displaystyle t = s\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} {s^3} - {r^2}s - 2{r^3} = 0$ και με λογισμικό, $\boxed{s = \left( {\sqrt[3]{{1 - \frac{{\sqrt {78} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 + \frac{{\sqrt {78} }}{9}}}} \right)r \simeq 1,5214r}$

Καινούρια τμήματα

Καινούρια τμήματα

Re: Καινούρια τμήματα

Μέλη σε σύνδεση