Κύκλος σημείο ευθεία

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9979
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Κύκλος σημείο ευθεία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Μάιος 16, 2024 2:23 pm

dkliri kataskyh_1.png
dkliri kataskyh_1.png (18.06 KiB) Προβλήθηκε 864 φορές
Δίδεται κύκλος και δυο σημεία του A\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,B. Μέσα στο κύκλο θεωρούμε σημείο S.

Να κατασκευαστεί κύκλος που να εφάπτεται του δεδομένου κύκλου , της ευθείας AB και να διέρχεται από το S.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5986
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Κύκλος σημείο ευθεία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Πέμ Μάιος 16, 2024 6:19 pm

Doloros έγραψε:
Πέμ Μάιος 16, 2024 2:23 pm
dkliri kataskyh_1.png
Δίδεται κύκλος και δυο σημεία του A\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,B. Μέσα στο κύκλο θεωρούμε σημείο S.
Να κατασκευαστεί κύκλος που να εφάπτεται του δεδομένου κύκλου , της ευθείας AB και να διέρχεται από το S.
Έστω ότι το πρόβλημα είναι «τίμιο».
Παραθέτουμε το βασικό κομμάτι της την «Άγιας Ανάλυσης» που χωρίς αυτή δεν υπάρχει (Επί της Μαθηματικής ουσίας βέβαια)
σε κανένα Μαθηματικό πρόβλημα η Σύνθεση δηλαδή η επίλυση …

Στο σχήμα που ακολουθεί c είναι ο δεδομένος κύκλος, ο d ο ζητούμενος και o e ο βοηθητικός.

Έχουμε \displaystyle{CH \cdot CS = CE \cdot CF = 2Ra \Rightarrow CH = \frac{{2Ra}}{{CS}},\;\,ct.}

Τότε και επειδή το Z είναι σταθερό σημείο ως τομή σταθερών ευθειών, και το H είναι σταθερό σημείο.

Αν E είναι το σημείο επαφής παίρνουμε Z{E^2} = ZH \cdot ZS,\,\;ct.

Συνεπώς τόσο το σημείο E, όσο και το συμμετρικό του L ως προς το Z είναι σταθερά σημεία.

Οι ζητούμενοι κύκλοι (είναι το πολύ δύο) είναι οι (E,S,H),\;\;(L,S,H).
Honest problem.png
Honest problem.png (95.02 KiB) Προβλήθηκε 815 φορές

Παρατήρηση:

Όλο το παραπάνω σκεπτικό μπορεί να παρουσιαστεί και μέσω της Μαθηματικής «Φρασεολογίας» της Αντιστροφής.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5986
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Κύκλος σημείο ευθεία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Πέμ Μάιος 16, 2024 10:37 pm

Επιτρέψτε μου να σας παραθέσω τις 10 κατασκευαστικές χειρωνακτικές κινήσεις (κανόνας και διαβήτης) k_1, k_2, ..., k_{10} που με βάση την ανάλυση μου εκτελώ όταν έχω το πρόβλημα αυτό με μόνα δεδομένα τον κύκλο και την χορδή AB το πρωί με διαθέσιμα χαρτί, μολύβι, χάρακα, διαβήτη αλλά που η ΔΕΗ έκανε εργασίες και μέχρι το βράδυ δεν θα είχα ρεύμα άρα ούτε τα πολυμέσα και βιαζόμουν τρομερά. Κουραστικό ίσως αλλά αισθάνθηκα ότι έδωσα στο πρόβλημα την ανεξαρτησία του (πέραν του ότι λειτούργησαν και οι θύμισες μου τότε που ως μαθητής ακόμα δημοσίευα στον Ευκλείδη ως παράρτημα του δελτίου της ΕΜΕ).

Παρατήρηση:
Προφανώς και τα πολυμέσα (georgebra κτλ.) είναι κορυφαίας σπουδαιότητας και πρέπει να εξοικειωθούν με αυτά οι Μαθητές μας, αλλά επιτρέψτε μου να θεωρώ ότι και πάλι ακολουθούν την σκέψη των κινήσεων k_1, k_2, ..., k_{10} που μπορούν βέβαια να γίνουν και χωρίς το ... ηλεκτρικό ρεύμα.
Honest problem1.png
Honest problem1.png (117.96 KiB) Προβλήθηκε 789 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2359
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Κύκλος σημείο ευθεία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Παρ Μάιος 17, 2024 10:49 am

Doloros έγραψε:
Πέμ Μάιος 16, 2024 2:23 pm


Δίδεται κύκλος και δυο σημεία του A\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,B. Μέσα στο κύκλο θεωρούμε σημείο S.

Να κατασκευαστεί κύκλος που να εφάπτεται του δεδομένου κύκλου , της ευθείας AB και να διέρχεται από το S.
S.E.Louridas έγραψε:
Πέμ Μάιος 16, 2024 6:19 pm
Doloros έγραψε:
Πέμ Μάιος 16, 2024 2:23 pm
dkliri kataskyh_1.png
Δίδεται κύκλος και δυο σημεία του A\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,B. Μέσα στο κύκλο θεωρούμε σημείο S.
Να κατασκευαστεί κύκλος που να εφάπτεται του δεδομένου κύκλου , της ευθείας AB και να διέρχεται από το S.
Έστω ότι το πρόβλημα είναι «τίμιο».
Παραθέτουμε το βασικό κομμάτι της την «Άγιας Ανάλυσης» που χωρίς αυτή δεν υπάρχει (Επί της Μαθηματικής ουσίας βέβαια)
σε κανένα Μαθηματικό πρόβλημα η Σύνθεση δηλαδή η επίλυση …

Στο σχήμα που ακολουθεί c είναι ο δεδομένος κύκλος, ο d ο ζητούμενος και o e ο βοηθητικός.

Έχουμε \displaystyle{CH \cdot CS = CE \cdot CF = 2Ra \Rightarrow CH = \frac{{2Ra}}{{CS}},\;\,ct.}

Τότε και επειδή το Z είναι σταθερό σημείο ως τομή σταθερών ευθειών, και το H είναι σταθερό σημείο.

Αν E είναι το σημείο επαφής παίρνουμε Z{E^2} = ZH \cdot ZS,\,\;ct.

Συνεπώς τόσο το σημείο E, όσο και το συμμετρικό του L ως προς το Z είναι σταθερά σημεία.

Οι ζητούμενοι κύκλοι (είναι το πολύ δύο) είναι οι (E,S,H),\;\;(L,S,H).


Παρατήρηση:

Όλο το παραπάνω σκεπτικό μπορεί να παρουσιαστεί και μέσω της Μαθηματικής «Φρασεολογίας» της Αντιστροφής.
S.E.Louridas έγραψε:
Πέμ Μάιος 16, 2024 10:37 pm
Επιτρέψτε μου να σας παραθέσω τις 10 κατασκευαστικές χειρωνακτικές κινήσεις (κανόνας και διαβήτης) k_1, k_2, ..., k_{10} που με βάση την ανάλυση μου εκτελώ όταν έχω το πρόβλημα αυτό με μόνα δεδομένα τον κύκλο και την χορδή AB το πρωί με διαθέσιμα χαρτί, μολύβι, χάρακα, διαβήτη αλλά που η ΔΕΗ έκανε εργασίες και μέχρι το βράδυ δεν θα είχα ρεύμα άρα ούτε τα πολυμέσα και βιαζόμουν τρομερά. Κουραστικό ίσως αλλά αισθάνθηκα ότι έδωσα στο πρόβλημα την ανεξαρτησία του (πέραν του ότι λειτούργησαν και οι θύμισες μου τότε που ως μαθητής ακόμα δημοσίευα στον Ευκλείδη ως παράρτημα του δελτίου της ΕΜΕ).

Παρατήρηση:
Προφανώς και τα πολυμέσα (georgebra κτλ.) είναι κορυφαίας σπουδαιότητας και πρέπει να εξοικειωθούν με αυτά οι Μαθητές μας, αλλά επιτρέψτε μου να θεωρώ ότι και πάλι ακολουθούν την σκέψη των κινήσεων k_1, k_2, ..., k_{10} που μπορούν βέβαια να γίνουν και χωρίς το ... ηλεκτρικό ρεύμα.
Νίκο και Σωτήρη καλημέρα....

Ο Σωτήρης υπαινίχθηκε το μετασχηματισμό της Αντιστροφής που τώρα με
τα λογισμικά μπορεί κανείς να την δουλέψει πολύ εύκολα. Αρκεί να έχει....
.....ηλεκτρικό ρεύμα!


Παραθέτω μια σειρά από στιγμιότυπα της όλης κατασκευής:

1ο σχήμα
Κύκλος , ευθεία και σημείο 1.png
Κύκλος , ευθεία και σημείο 1.png (20.33 KiB) Προβλήθηκε 725 φορές
Θεώρησα τον δοθέντα κύκλο ως κύκλο αντιστροφής και μετά πήρα τα αντίστροφα της ευθείας \displaystyle{(e)}
και του σημείου \displaystyle{S}, δηλαδή τον κύκλο \displaystyle{(C_1)} και το σημείο \displaystyle{S'}. Φυσικά το αντίστροφο του
κύκλου \displaystyle{(C)} είνα ο ίδιος ο κύκλος αυτός.

2ο Σχήμα

Κύκλος, σημείο και ευθεία 2.png
Κύκλος, σημείο και ευθεία 2.png (27.4 KiB) Προβλήθηκε 725 φορές
Στο σχήμα αυτό φαίνεται η κατασκευή του κύκλου που διέρχεται από το σημείο \displaystyle{S'} και εφάπτεται
εξωτερικά των δύο κύκλων \displaystyle{(C), (C_1)}. Είναι γνωστές οι Απολλώνειες Κατασκευές.

3ο Σχήμα
Κύκλος, σημείο και ευθεία 3.png
Κύκλος, σημείο και ευθεία 3.png (27.02 KiB) Προβλήθηκε 725 φορές
Στο σχήμα αυτό φαίνεται και ο δεύτερος κύκλος που εφάπτεται εξωτερικά των
δύο κύκλων\displaystyle{(C), (C_1) }.

4ο Σχήμα
Κύκλος, ευθεία και σημείο 4.png
Κύκλος, ευθεία και σημείο 4.png (30.64 KiB) Προβλήθηκε 725 φορές
Στο σχήμα αυτό σχηματίστηκε το αντίστροφο του πρώτου κύκλου και είναι
ο ένας από τους δυο ζητούμενους κύκλους.(ο σκιασμένος κύκλος)

5ο Σχήμα
Κύκλος, ευθεία κα σημείο 5.png
Κύκλος, ευθεία κα σημείο 5.png (34.83 KiB) Προβλήθηκε 725 φορές
Όμοια με αντιστροφή του δεύτερου κύκλου σχηματίστηκε ο δεύτερος
σκιασμένος κύκλος, δηλαδή ο δεύτερος ζητούμενος κύκλος.

Επειδή δεν μπορώ να βάλω το τελικό σχήμα θα συνεχίσω σε άλλη ανάρτηση...

Κώστας Δόρτσιος


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2359
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Κύκλος σημείο ευθεία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Παρ Μάιος 17, 2024 11:00 am

Doloros έγραψε:
Πέμ Μάιος 16, 2024 2:23 pm


Δίδεται κύκλος και δυο σημεία του A\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,B. Μέσα στο κύκλο θεωρούμε σημείο S.

Να κατασκευαστεί κύκλος που να εφάπτεται του δεδομένου κύκλου , της ευθείας AB και να διέρχεται από το S.
..................................
Συνεχίζοντας και ολοκληρώνοντας την απάντησή μου παραθέτω και το τελικό προϊόν σχήμα
το οποίο είναι αποφορτισμένο από ενδιάμεσες γραμμές.


6ο Σχήμα
Κύκλος,ευθεία και σημείο 6.png
Κύκλος,ευθεία και σημείο 6.png (22.74 KiB) Προβλήθηκε 721 φορές
Το σχήμα αυτό είναι το τελικό και δεν θα μπορούσε να συμπτυχθεί σε
ένα και μοναδικό. Φαίνεται όμως μια καλή εφαρμογή της μεθόδου του
γεωμετρικού μετασχηματισμού της αντιστροφής!
Είναι αυτονόητο ότι το σχήμα αυτό είναι και δυναμικό(δεν το αναρτώ) και
μπορεί κανείς να μετακινήσει το σημείο \displaystyle{S} και να αλλάζουν οι θέσεις
των δυο σκιασμένων κύκλων. Ακόμα μπορούμε να αλλάξουμε και τις θέσεις
των σημείων \displaystyle{A,B} και να θεωρήσουμε πάλι νέες καταστάσεις...

Κώστας Δόρτσιος


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9979
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κύκλος σημείο ευθεία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Μάιος 17, 2024 12:55 pm

Doloros έγραψε:
Πέμ Μάιος 16, 2024 2:23 pm
dkliri kataskyh_1.png

Δίδεται κύκλος και δυο σημεία του A\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,B. Μέσα στο κύκλο θεωρούμε σημείο S.

Να κατασκευαστεί κύκλος που να εφάπτεται του δεδομένου κύκλου , της ευθείας AB και να διέρχεται από το S.
Ευχαριστώ τους αγαπητούς Σωτήρη και Κώστα για την ενασχόληση τους με το θέμα .

Τόσο του Σωτήρη ο κλασικός τρόπος ( Ανάλυση –Σύνθεση –Διερεύνηση) είναι εκπληκτικός , όσο και του Κώστα

με αντιστροφή εξ ίσου πολύ όμορφος .


Η δική μου άποψη στηρίζεται στην βασική αρχή της Αντιστροφής που εν γένει μετασχηματίζει:

τις γραμμές ( κύκλο κι ευθεία ) σε –όχι κατ’ ανάγκη αντίστοιχες – (κύκλο κι ευθεία )

Στο συγκεκριμένο πρόβλημα :
Κύκλος σημείο ευθεία_υπόθεση.png
Κύκλος σημείο ευθεία_υπόθεση.png (13.91 KiB) Προβλήθηκε 698 φορές
Έχω μια ευθεία που τέμνει ένα δεδομένο κύκλο σε δύο σημεία κι ένα σταθερό εσωτερικό σημείο του κύκλου .

Θεωρώ αντιστροφή με πόλο το σταθερό σημείο S δύναμη αντιστροφής όποια θέλω.

Εδώ ο κύκλος αντιστροφήs θεωρώ π.χ. ότι έχει ακτίνα το σταθερό \boxed{OS = \lambda } ( θα μπορούσε να είναι οποιοδήποτε σταθερό μήκος).

Αντιστρέφω την ευθεία με πόλο το S ( που δεν ανήκει στην ευθεία) και θα προκύψει κύκλος {K_{AB}} .

Αντιστρέφω και τον κύκλο με πόλο πάλι το S( που δεν ανήκει στον κύκλο ) και δύναμη αντιστροφής την ίδια.

Θα προκύψει αναγκαστικά κύκλος {K_O}. ( ο \left( {S,SO} \right) είναι ο κύκλος αντιστροφής )
.
Κύκλος σημείο ευθεία_υπόθεση_1.png
Κύκλος σημείο ευθεία_υπόθεση_1.png (26.74 KiB) Προβλήθηκε 698 φορές
.
Βρίσκω τις εφαπτόμενες των δύο αυτών {K_{AB\,}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{K_O} κύκλων που είναι δυο ευθείες {d_1}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{d_2}.
.
Κύκλος σημείο ευθεία_υπόθεση_2.png
Κύκλος σημείο ευθεία_υπόθεση_2.png (31.03 KiB) Προβλήθηκε 698 φορές
.
Εδώ είναι το τέρμα . Αντιστρέφω και τις δύο ευθείες {d_1}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{d_2} με πόλο το S και ίδια δύναμη αντιστροφής και έχω τους κύκλους που θέλω.
.
Κύκλος σημείο ευθεία_υπόθεση_3.png
Κύκλος σημείο ευθεία_υπόθεση_3.png (26.03 KiB) Προβλήθηκε 698 φορές
Το τέρμα.png
Το τέρμα.png (19.03 KiB) Προβλήθηκε 698 φορές


Άβαταρ μέλους
∫ot.T.
Δημοσιεύσεις: 58
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 23, 2023 4:21 pm
Τοποθεσία: Λουτράκι

Re: Κύκλος σημείο ευθεία

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ∫ot.T. » Παρ Μάιος 17, 2024 3:06 pm

Ξανά με αντιστροφή θα εντοπίσουμε το δεύτερο σημείο τομής των δύο ζητούμενων κύκλων, οπότε η κατασκευή τους θα είναι πιο απλή (κύκλος που διέρχεται από δύο σημεία και εφάπτεται σε ευθεία)

Είναι γνωστό ότι το μέσο του τόξου AB, έστω C, που δεν βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο με το S ως προς την AB, βρίκεται στην ίδια ευθεία με τα δύο σημεία που εφάπτονται οι κύκλοι με την δεδομένη ευθεία και τον δεδομένο κύκλο, έστω X, Y αντίστοιχα. Επιπλέον είναι γνωστό ότι CA^{2}=CB^{2}=CX\cdot CY

Άρα το αντίστροφο του X ως προς τον κύκλο k(C, CA) είναι το Y
Το αντίστροφο του S, έστω S', ως προς τον ίδιο κύκλο κατασκευάζεται εύκολα.

Οπότε οι αντίστροφοι κύκλοι των ζητούμενων θα διέρχονται ξανά από τα X, Y και από το S'

Όμως, επειδή τα σημεία τομής των ζητούμενων κύκλων με τον k παραμένουν αναλλοίωτα κατά την αντιστροφή (η ύπαρξη τους είναι εξασφαλισμένη διότι το σημείο επαφής με την χορδή είναι εντός του k, ενώ με τον κύκλο εκτός) τότε οι αντίστροφοί τους κύκλοι διέρχονται από 4 σημεία που διέρχονται και οι ίδιοι. Με άλλα λόγια οι ζητούμενοι κύκλοι τέμνονται ορθογώνια με τον k.

Συνεπώς το S' είναι κοινό σημείο των ζητούμενων κύκλων, συγκεκριμένα το δεύτερο σημείο τομής που αναζητούσαμε.


«Ο μορφωμένος διαφέρει από τον αμόρφωτο, όπως ο ζωντανός από τον νεκρό.» Αριστοτέλης
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9979
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κύκλος σημείο ευθεία

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Μάιος 17, 2024 4:49 pm

∫ot.T. έγραψε:
Παρ Μάιος 17, 2024 3:06 pm
Ξανά με αντιστροφή θα εντοπίσουμε το δεύτερο σημείο τομής των δύο ζητούμενων κύκλων, οπότε η κατασκευή τους θα είναι πιο απλή (κύκλος που διέρχεται από δύο σημεία και εφάπτεται σε ευθεία)

Είναι γνωστό ότι το μέσο του τόξου AB, έστω C, που δεν βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο με το S ως προς την AB, βρίκεται στην ίδια ευθεία με τα δύο σημεία που εφάπτονται οι κύκλοι με την δεδομένη ευθεία και τον δεδομένο κύκλο, έστω X, Y αντίστοιχα. Επιπλέον είναι γνωστό ότι CA^{2}=CB^{2}=CX\cdot CY

Άρα το αντίστροφο του X ως προς τον κύκλο k(C, CA) είναι το Y
Το αντίστροφο του S, έστω S', ως προς τον ίδιο κύκλο κατασκευάζεται εύκολα.

Οπότε οι αντίστροφοι κύκλοι των ζητούμενων θα διέρχονται ξανά από τα X, Y και από το S'

Όμως, επειδή τα σημεία τομής των ζητούμενων κύκλων με τον k παραμένουν αναλλοίωτα κατά την αντιστροφή (η ύπαρξη τους είναι εξασφαλισμένη διότι το σημείο επαφής με την χορδή είναι εντός του k, ενώ με τον κύκλο εκτός) τότε οι αντίστροφοί τους κύκλοι διέρχονται από 4 σημεία που διέρχονται και οι ίδιοι. Με άλλα λόγια οι ζητούμενοι κύκλοι τέμνονται ορθογώνια με τον k.

Συνεπώς το S' είναι κοινό σημείο των ζητούμενων κύκλων, συγκεκριμένα το δεύτερο σημείο τομής που αναζητούσαμε.
Κύκλος σημείο ευθεία_ κατα Sot_T.png
Κύκλος σημείο ευθεία_ κατα Sot_T.png (50.18 KiB) Προβλήθηκε 656 φορές

Και το σχήμα της εκπληκτικής ομορφιάς λύση του νεαρού ( 16 ετών) Sot.T :clap2: :clap2: .

Μετά την εποχή , στο :logo: , του Ορέστη Λιγνού κ.λ.π. διαβλέπω να έχουμε την εποχή του πιο πάνω νεαρού . Να τους χαίρονται όσοι τους αγαπούν.


Άβαταρ μέλους
∫ot.T.
Δημοσιεύσεις: 58
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 23, 2023 4:21 pm
Τοποθεσία: Λουτράκι

Re: Κύκλος σημείο ευθεία

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ∫ot.T. » Παρ Μάιος 17, 2024 8:03 pm

∫ot.T. έγραψε:
Παρ Μάιος 17, 2024 3:06 pm
Ξανά με αντιστροφή θα εντοπίσουμε το δεύτερο σημείο τομής των δύο ζητούμενων κύκλων, οπότε η κατασκευή τους θα είναι πιο απλή (κύκλος που διέρχεται από δύο σημεία και εφάπτεται σε ευθεία)

Είναι γνωστό ότι το μέσο του τόξου AB, έστω C, που δεν βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο με το S ως προς την AB, βρίκεται στην ίδια ευθεία με τα δύο σημεία που εφάπτονται οι κύκλοι με την δεδομένη ευθεία και τον δεδομένο κύκλο, έστω X, Y αντίστοιχα. Επιπλέον είναι γνωστό ότι CA^{2}=CB^{2}=CX\cdot CY

Άρα το αντίστροφο του X ως προς τον κύκλο k(C, CA) είναι το Y
Το αντίστροφο του S, έστω S', ως προς τον ίδιο κύκλο κατασκευάζεται εύκολα.

Οπότε οι αντίστροφοι κύκλοι των ζητούμενων θα διέρχονται ξανά από τα X, Y και από το S'

Όμως, επειδή τα σημεία τομής των ζητούμενων κύκλων με τον k παραμένουν αναλλοίωτα κατά την αντιστροφή (η ύπαρξη τους είναι εξασφαλισμένη διότι το σημείο επαφής με την χορδή είναι εντός του k, ενώ με τον κύκλο εκτός) τότε οι αντίστροφοί τους κύκλοι διέρχονται από 4 σημεία που διέρχονται και οι ίδιοι. Με άλλα λόγια οι ζητούμενοι κύκλοι τέμνονται ορθογώνια με τον k.

Συνεπώς το S' είναι κοινό σημείο των ζητούμενων κύκλων, συγκεκριμένα το δεύτερο σημείο τομής που αναζητούσαμε.
Παρέβλεψα να αναφέρω και μία ειδική περίπτωση, που η κατασκευή αλλάζει προς το συμφέρον μας.
Αν S\in k(C,CA) τότε S\equiv S' και δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε την διαδικασία που ανέρτησα.

Ωστόσο, λόγω της ορθογωνιότητας των κύκλων, παρατηρούμε ότι η ευθεία από τα C,S εφάπτεται των ζητούμενων κύκλων.

Οπότε αρκεί να κατασκευάσουμε κύκλο που να εφάπτεται σε δύο ευθείες και να διέρχεται από συγκεκριμένο σημείο πάνω σε μία από αυτές, κάτι που είναι πιο βατό.


«Ο μορφωμένος διαφέρει από τον αμόρφωτο, όπως ο ζωντανός από τον νεκρό.» Αριστοτέλης
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2359
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Κύκλος σημείο ευθεία

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Κυρ Μάιος 19, 2024 9:42 am

Doloros έγραψε:
Πέμ Μάιος 16, 2024 2:23 pm


Δίδεται κύκλος και δυο σημεία του A\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,B. Μέσα στο κύκλο θεωρούμε σημείο S.

Να κατασκευαστεί κύκλος που να εφάπτεται του δεδομένου κύκλου , της ευθείας AB και να διέρχεται από το S.
∫ot.T. έγραψε:
Παρ Μάιος 17, 2024 8:03 pm
∫ot.T. έγραψε:
Παρ Μάιος 17, 2024 3:06 pm
Ξανά με αντιστροφή θα εντοπίσουμε το δεύτερο σημείο τομής των δύο ζητούμενων κύκλων, οπότε η κατασκευή τους θα είναι πιο απλή (κύκλος που διέρχεται από δύο σημεία και εφάπτεται σε ευθεία)

Είναι γνωστό ότι το μέσο του τόξου AB, έστω C, που δεν βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο με το S ως προς την AB, βρίκεται στην ίδια ευθεία με τα δύο σημεία που εφάπτονται οι κύκλοι με την δεδομένη ευθεία και τον δεδομένο κύκλο, έστω X, Y αντίστοιχα. Επιπλέον είναι γνωστό ότι CA^{2}=CB^{2}=CX\cdot CY

Άρα το αντίστροφο του X ως προς τον κύκλο k(C, CA) είναι το Y
Το αντίστροφο του S, έστω S', ως προς τον ίδιο κύκλο κατασκευάζεται εύκολα.

Οπότε οι αντίστροφοι κύκλοι των ζητούμενων θα διέρχονται ξανά από τα X, Y και από το S'

Όμως, επειδή τα σημεία τομής των ζητούμενων κύκλων με τον k παραμένουν αναλλοίωτα κατά την αντιστροφή (η ύπαρξη τους είναι εξασφαλισμένη διότι το σημείο επαφής με την χορδή είναι εντός του k, ενώ με τον κύκλο εκτός) τότε οι αντίστροφοί τους κύκλοι διέρχονται από 4 σημεία που διέρχονται και οι ίδιοι. Με άλλα λόγια οι ζητούμενοι κύκλοι τέμνονται ορθογώνια με τον k.

Συνεπώς το S' είναι κοινό σημείο των ζητούμενων κύκλων, συγκεκριμένα το δεύτερο σημείο τομής που αναζητούσαμε.
Παρέβλεψα να αναφέρω και μία ειδική περίπτωση, που η κατασκευή αλλάζει προς το συμφέρον μας.
Αν S\in k(C,CA) τότε S\equiv S' και δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε την διαδικασία που ανέρτησα.

Ωστόσο, λόγω της ορθογωνιότητας των κύκλων, παρατηρούμε ότι η ευθεία από τα C,S εφάπτεται των ζητούμενων κύκλων.

Οπότε αρκεί να κατασκευάσουμε κύκλο που να εφάπτεται σε δύο ευθείες και να διέρχεται από συγκεκριμένο σημείο πάνω σε μία από αυτές, κάτι που είναι πιο βατό.
Νίκο καλημέρα...

Η άσκησή σου αυτή έγινε αφορμή να προκύψει μια πλούσια εφαρμογή της Αντιστροφής!

Βλέποντας την όλη επεξεργασία μετά την ανάρτηση του Σωτήρη που υπαινίχθηκε την Αντιστροφή, ένιωσα

όμορφα να εξελίσσεται ο διάλογος αυτός, Κι αυτό διότι:

Εγώ έβαλα μια κλασσική κατασκευή χρησιμοποιώντας την Αντιστροφή με έξι σχήματα προσπαθώντας

να βοηθήσω τον αναγνώστη, γιατί όλη η δουλειά σε ένα σχήμα θα ήταν ένα συμπίλημα γραμμών

και σημείων χωρίς άκρη.

Στη συνέχεια βλέπω τη δικιά σου λύση κατά πολύ πιο σύντομη και τη θαύμασα! Όμως όταν είδα

και την ιδέα του δεκαεξάχρονου συνομιλητή μας τότε είπα μέσα μου, πόσο όμορφα είναι τα

Μαθηματικά! Επαληθεύτηκε αυτό που λένε πολλοί: Στα Μαθηματικά δεν υπάρχουν μονόδρομοι!

Εύχομαι κι εγώ στο νέο αυτό συνομιλητή μας να είναι γερός και να χαίρεται αυτά που κάνει.

Κλείνοντας θα αναρτήσω ένα σχήμα που το πρόσεξα πολύ. Το αναρτώ και σε δυναμική μορφή.

Στο σχήμα αυτό δίνω την κατασκευή των κύκλων με τη λύση του νεαρού που υπογράφει με

το σύμβολο \displaystyle{\int{ot.T.}}. Τελικά η λύση αυτή θέλει την εύρεση του αντιστρόφου σημείου

του δοθέντος σημείου \displaystyle{S} και την απολλώνεια κατασκευή κύκλου διερχομένου από δυο

σημεία και εφαπτόμενου δοθείσας ευθείας. Οι ειδικές περιπτώσεις είναι πιο απλές.

Οι περιπτώσεις αυτές είναι εκείνη που αναφέρει ο νεαρός στη δεύτερη ανάρτησή του δηλαδή

το σημείο \displaystyle{S} να ανήκει στο μικρό τόξο του κύκλου \displaystyle{(C,CA)} όπου οι ζητούμενοι κύκλοι είναι

εφαπτόμενοι, και η άλλη περίπτωση είναι όταν το σημείο \displaystyle{S} βρεθεί στο περίγραμμα του κυκλικού

τμήματος που ορίζει η χορδή \displaystyle{AB} με τον αρχικό δοθέντα κύκλο, όπου οι ζητούμενοι κύκλοι

ταυτίζονται.

1ο Σχήμα Γενικό
Κύκλος, ευθεία, σημείο 10.png
Κύκλος, ευθεία, σημείο 10.png (27.78 KiB) Προβλήθηκε 537 φορές
2ο Σχήμα, όταν το \displaystyle{S} βρίσκεται στο τόξο του αρχικού κύκλου
Κύκλος, ευθεία, σημείο 11.png
Κύκλος, ευθεία, σημείο 11.png (26.03 KiB) Προβλήθηκε 537 φορές

3ο Σχήμα όταν το \displaystyle{S\in{AB} }

Κύκλος, ευθεία, σημείο 12.png
Κύκλος, ευθεία, σημείο 12.png (23.85 KiB) Προβλήθηκε 537 φορές

4ο Σχήμα όταν το σημείο \displaystyle{S} ανήκει στο τόξο του κύκλου \displaystyle{(C,CA)}

Κύκλος, ευθεία, σημείο 13.png
Κύκλος, ευθεία, σημείο 13.png (26.42 KiB) Προβλήθηκε 537 φορές
Τα ανωτέρω στιγμιότυπα ανήκουν στο δυναμικό αρχείο που αναρτώ στη διεύθυνση:

https://www.geogebra.org/m/wd63dye3

Σημείωση:

Καλό θα ήταν οι δυο προτάσεις που είναι σημειωμένες με κόκκινο στην ανάρτηση του \displaystyle{\int{ot.T.}}

να αποδειχθούν ως αυτοτελείς ασκήσεις, γιατί πράγματι είναι ενδιαφέρουσες...

Κώστας Δόρτσιος


Άβαταρ μέλους
∫ot.T.
Δημοσιεύσεις: 58
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 23, 2023 4:21 pm
Τοποθεσία: Λουτράκι

Re: Κύκλος σημείο ευθεία

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ∫ot.T. » Κυρ Μάιος 19, 2024 11:59 am

KDORTSI έγραψε:
Κυρ Μάιος 19, 2024 9:42 am
Σημείωση:

Καλό θα ήταν οι δυο προτάσεις που είναι σημειωμένες με κόκκινο στην ανάρτηση του \displaystyle{\int{ot.T.}}

να αποδειχθούν ως αυτοτελείς ασκήσεις, γιατί πράγματι είναι ενδιαφέρουσες...

Κώστας Δόρτσιος
Μία απόδειξη για την συνευθειακότητα των C,X,Y είναι μέσω ομοιοθεσίας.
Η ομοιοθεσία που τοποθετεί τον μικρό κύκλο στον μεγάλο έχει κέντρο το Y.
Η ευθεία της χορδής AB θα είναι μία ευθεία παράλληλη στο AB εφαπτομένη στον μεγάλο κύκλο.
Άρα το X τοποθετείται στο μέσο του τόξου AB που δεν περιέχει το Y
(Πρέπει να είναι το μέσο ώστε και οι δύο μπλε γωνίες του σχήματος να είναι ορθές για να ισχύει η παραλληλία.)

Τώρα θέλουμε CA^{2}=CX\cdot CY ή \dfrac{CA}{CX}=\dfrac{CY}{CA}

Αρκεί, λοιπόν, τα τρίγωνα CXA, CAY να είναι όμοια.

Αυτό ισχύει διότι η πράσινη στο σχήμα γωνία είναι κοινή, ενώ οι κόκκινες ίσες αφού βαίνουν σε ίσα τόξα.
Συνημμένα
geogebra-export-6.png
geogebra-export-6.png (268.48 KiB) Προβλήθηκε 526 φορές


«Ο μορφωμένος διαφέρει από τον αμόρφωτο, όπως ο ζωντανός από τον νεκρό.» Αριστοτέλης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης