Ζητούμενα απ' το πουθενά

#1

Τα μήκη των πλευρών a, b, c

τριγώνου

είναι ανάλογα των μονοψήφιων φυσικών αριθμών k, m, n .

Ο εγγεγραμμένος κύκλος εφάπτεται των πλευρών BC, CA

στα

αντίστοιχα και η

τέμνει την

στο

Αν

να βρείτε τους αριθμούς k, m, n.

#2

george visvikis έγραψε: Κυρ Μάιος 19, 2024 9:24 am Τα μήκη των πλευρών τριγώνου είναι ανάλογα των μονοψήφιων φυσικών αριθμών

Ο εγγεγραμμένος κύκλος εφάπτεται των πλευρών στα αντίστοιχα και η τέμνει την

στο Αν να βρείτε τους αριθμούς

: Ζητούμενα απο το πουθενα_ok_κατασκευή 1.png (31.78 KiB) Προβλήθηκε 649 φορές

Σε λίγο και τα λόγια , αν δεν νυστάξω, αλλιώς το πρωΐ

#3

george visvikis έγραψε: Κυρ Μάιος 19, 2024 9:24 am Τα μήκη των πλευρών τριγώνου είναι ανάλογα των μονοψήφιων φυσικών αριθμών

Ο εγγεγραμμένος κύκλος εφάπτεται των πλευρών στα αντίστοιχα και η τέμνει την

στο Αν να βρείτε τους αριθμούς

Είναι : $\dfrac{a}{k} = \dfrac{b}{m} = \dfrac{c}{n} = x,\,\,\,k,m,n \in \left\{ {1,2,...,9} \right\}$ . Η ημιπερίμετρος , $s = \dfrac{{k + m + n}}{2}x$ και επίσης θεωρείτε γνωστό:

$AE = s - a = \dfrac{{m + n - k}}{2}x,\,\,TB = s - b = \dfrac{{ - m + k + n}}{2}x\,\,,\,DC = s - c = \dfrac{{k + m - n}}{2}x.$

Επί πλέον:

Τα E,B,Z,C

ανήκουν στο ίδιο κύκλο ενώ τα ισοσκελή τρίγωνα $SDB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CED$ είναι όμοια .

Από τη δύναμη του

ως προς τον μεγάλο κύκλο έχω : ${m^2} + \left( {n - k} \right)m - 4{h^2} = 0\,\,\,\left( 1 \right)$

: Ζητούμενα απο το πουθενα_Ανάλυση.png (18.82 KiB) Προβλήθηκε 642 φορές

Από την ομοιότητα που προανέφερα προκύπτει , $ED = \dfrac{{\left( {k - m + n} \right)\left( {k + m - n} \right)x}}{{4n}}\,\,\left( 2 \right)$

Από τη δύναμη του

στο μικρό κύκλο μετά από πράξεις ρουτίνας : $2\left( {k + n - m} \right)\left( {3n - m} \right) = 0$ $\left( 3 \right)$ .

Από την $\left( 3 \right)$ , ένα ενδεχόμενο είναι , m = 3n

και από την $\left( 1 \right)$ έχω: $8{n^2} = 3kn$ , το άλλο δεν ισχύει ( τριγωνική ανισότητα γάρ)

Επειδή η γωνία

είναι αμβλεία … θεωρώ π.χ. $\boxed{n = 3}$ και προκύπτουν : $\boxed{m = 9\,\,\kappa \alpha \iota \,\,k = 8}$ .

Αν $n \geqslant 4$ θα είναι $m \geqslant 12 > 9$ , η διαδικασία σταματά. Ενώ αν $n = 1\,\,$ ή n = 2

η σχέση $\left( 1 \right)$ δίδει άτοπο ως πρός τις προδιαγραφές

Ζητούμενα απ' το πουθενά

Ζητούμενα απ' το πουθενά

Re: Ζητούμενα απ' το πουθενά

Re: Ζητούμενα απ' το πουθενά

Μέλη σε σύνδεση