Ζητούμενα απ' το πουθενά

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13407
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ζητούμενα απ' το πουθενά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μάιος 19, 2024 9:24 am

Τα μήκη των πλευρών a, b, c τριγώνου ABC είναι ανάλογα των μονοψήφιων φυσικών αριθμών k, m, n .

Ο εγγεγραμμένος κύκλος εφάπτεται των πλευρών BC, CA στα D, E αντίστοιχα και η ED τέμνει την AB

στο Z. Αν AB=BZ=ZD, να βρείτε τους αριθμούς k, m, n.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9979
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ζητούμενα απ' το πουθενά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Μάιος 19, 2024 11:47 pm

george visvikis έγραψε:
Κυρ Μάιος 19, 2024 9:24 am
Τα μήκη των πλευρών a, b, c τριγώνου ABC είναι ανάλογα των μονοψήφιων φυσικών αριθμών k, m, n .

Ο εγγεγραμμένος κύκλος εφάπτεται των πλευρών BC, CA στα D, E αντίστοιχα και η ED τέμνει την AB

στο Z. Αν AB=BZ=ZD, να βρείτε τους αριθμούς k, m, n.
Ζητούμενα απο το πουθενα_ok_κατασκευή 1.png
Ζητούμενα απο το πουθενα_ok_κατασκευή 1.png (31.78 KiB) Προβλήθηκε 352 φορές
Σε λίγο και τα λόγια , αν δεν νυστάξω, αλλιώς το πρωΐ


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9979
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ζητούμενα απ' το πουθενά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Μάιος 20, 2024 12:35 am

george visvikis έγραψε:
Κυρ Μάιος 19, 2024 9:24 am
Τα μήκη των πλευρών a, b, c τριγώνου ABC είναι ανάλογα των μονοψήφιων φυσικών αριθμών k, m, n .

Ο εγγεγραμμένος κύκλος εφάπτεται των πλευρών BC, CA στα D, E αντίστοιχα και η ED τέμνει την AB

στο Z. Αν AB=BZ=ZD, να βρείτε τους αριθμούς k, m, n.
Είναι : \dfrac{a}{k} = \dfrac{b}{m} = \dfrac{c}{n} = x,\,\,\,k,m,n \in \left\{ {1,2,...,9} \right\} . Η ημιπερίμετρος , s = \dfrac{{k + m + n}}{2}x και επίσης θεωρείτε γνωστό:

AE = s - a = \dfrac{{m + n - k}}{2}x,\,\,TB  = s - b = \dfrac{{ - m + k + n}}{2}x\,\,,\,DC = s - c = \dfrac{{k + m - n}}{2}x.

Επί πλέον:

Τα E,B,Z,C ανήκουν στο ίδιο κύκλο ενώ τα ισοσκελή τρίγωνα SDB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CED είναι όμοια .

Από τη δύναμη του A ως προς τον μεγάλο κύκλο έχω : {m^2} + \left( {n - k} \right)m - 4{h^2} = 0\,\,\,\left( 1 \right)
Ζητούμενα απο το πουθενα_Ανάλυση.png
Ζητούμενα απο το πουθενα_Ανάλυση.png (18.82 KiB) Προβλήθηκε 345 φορές
Από την ομοιότητα που προανέφερα προκύπτει , ED = \dfrac{{\left( {k - m + n} \right)\left( {k + m - n} \right)x}}{{4n}}\,\,\left( 2 \right)

Από τη δύναμη του Z στο μικρό κύκλο μετά από πράξεις ρουτίνας : 2\left( {k + n - m} \right)\left( {3n - m} \right) = 0 \left( 3 \right).

Από την \left( 3 \right) , ένα ενδεχόμενο είναι , m = 3n και από την \left( 1 \right) έχω: 8{n^2} = 3kn , το άλλο δεν ισχύει ( τριγωνική ανισότητα γάρ)

Επειδή η γωνία B είναι αμβλεία … θεωρώ π.χ. \boxed{n = 3} και προκύπτουν : \boxed{m = 9\,\,\kappa \alpha \iota \,\,k = 8}.

Αν n \geqslant 4 θα είναι m \geqslant 12 > 9 , η διαδικασία σταματά. Ενώ αν n = 1\,\,ή n = 2 η σχέση \left( 1 \right) δίδει άτοπο ως πρός τις προδιαγραφές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες