Συμμετροδιάμεσος μεν, διάμεσος δε

#1

: Η συμμετροδιάμεσος διχοτομεί τμήμα κοινής χορδής.png (28.71 KiB) Προβλήθηκε 453 φορές

Σκαληνό τρίγωνο ABC

είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $\Omega$ και έστω

, η

συμμετροδιάμεσος του .

Άλλος κύκλος

έχει κέντρο το

και τέμνει των $\Omega$ , στα διακεκριμένα σημεία $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,F$ .

Η ευθεία

τέμνει τις ευθείες $AB\,\,,\,\,AC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,AD$ στα σημεία , $K\,\,\,,\,\,L\,\,,\,\,M\,\,$ αντίστοιχα . Δείξετε ότι : KM = ML

.

S.E.Louridas · #2

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 11, 2024 8:39 pm
Σκαληνό τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $\Omega$ και έστω , η συμμετροδιάμεσος του .
Άλλος κύκλος έχει κέντρο το και τέμνει των $\Omega$ , στα διακεκριμένα σημεία $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,F$ .
Η ευθεία τέμνει τις ευθείες $AB\,\,,\,\,AC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,AD$ στα σημεία , $K\,\,\,,\,\,L\,\,,\,\,M\,\,$ αντίστοιχα.
Δείξετε ότι : .

Η άρση της απόκρυψης θα γίνει μετά από την επόμενη διαπραγμάτευση.

Παρατηρούμε ότι:

$\angle FKA = \angle EAB + \angle FEA = \angle EFB + \angle AFE = \angle AFB =\angle ACB.$

Ομοίως παίρνουμε $\angle ALK = \angle CBA,$

οπότε τα τρίγωνα ABC, AKL

είναι ας πούμε «αντιρρόπως» όμοια κοινής γωνίας και κορυφής

,

οπότε η διάμεσος του ενός θα είναι συμμετροδιάμεσος του άλλου.

edit: Έγινε άρση της απόκρυψης

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 11, 2024 8:39 pm
Η συμμετροδιάμεσος διχοτομεί τμήμα κοινής χορδής.png
Σκαληνό τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $\Omega$ και έστω , η συμμετροδιάμεσος του .

Άλλος κύκλος έχει κέντρο το και τέμνει των $\Omega$ , στα διακεκριμένα σημεία $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,F$ .

Η ευθεία τέμνει τις ευθείες $AB\,\,,\,\,AC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,AD$ στα σημεία , $K\,\,\,,\,\,L\,\,,\,\,M\,\,$ αντίστοιχα . Δείξετε ότι : .

Έστω

διάμετρος του κύκλου (ABC)

και $MP \bot AB ,MQ \bot AC$

Επειδή το

ανήκει στην Α-συμμετροδιάμεσο

θα ισχύει $\dfrac{MP}{c} = \dfrac{MQ}{b} (1)$

Λόγω προφανούς ισότητας των μαύρων γωνιών κι επειδή η γωνία CFE

είναι εξωτερική του

τριγώνου CFL

,όλες οι ροζ γωνίες θα είναι ίσες.

Επομένως to STCL

είναι εγγράψιμμο ,άρα $AS \bot EL$ κι επειδή $\angle A_{1} = \angle M_{1}$

τα ορθογώνια τρίγωνα ABS,BMK

είναι όμοια,άρα $\dfrac{MK}{AS}= \dfrac{MP}{c} (2)$

Επίσης $\angle S_{1} = \angle L \Rightarrow \triangle ACS \simeq \triangle QML \Rightarrow \dfrac{ML}{AS}= \dfrac{MQ}{b} (3)$

Από (2),(3)

λόγω της

έχουμε $\dfrac{MK}{AS}= \dfrac{ML}{AS} \Rightarrow MK=ML$

Συμμετροδιάμεσος μεν, διάμεσος δε

Συμμετροδιάμεσος μεν, διάμεσος δε

Re: Συμμετροδιάμεσος μεν, διάμεσος δε

Re: Συμμετροδιάμεσος μεν, διάμεσος δε

Μέλη σε σύνδεση