Συνευθειακότητα & καθετότητα σε δισορθογώνιο τραπέζιο

sakis1963 · #1

: 2020.040.4919 mathematica.jpg (49.33 KiB) Προβλήθηκε 906 φορές

Σε δισορθογώνιο τραπέζιο ABCD

με $\angle A= \angle D= 90 ^{\circ}$ ,

κύκλος (w1)

διερχόμενος από τα D, C

επανατέμνει τις AD, BC

στα

αντίστοιχα,

ενώ ο περίκυκλος του τριγώνου BEC

επανατέμνει την

στο

.

Αν $P= CF \cap (w1)$ και M, N

τα μέσα των PB, FQ

αντίστοιχα, δείξτε ότι:

a. Η

διέρχεται από το

b. $MN \perp PQ$

#2

sakis1963 έγραψε: Κυρ Ιούλ 21, 2024 10:28 pm 2020.040.4919 mathematica.jpg
Σε δισορθογώνιο τραπέζιο με $\angle A= \angle D= 90 ^{\circ}$ ,

κύκλος διερχόμενος από τα επανατέμνει τις στα αντίστοιχα,

ενώ ο περίκυκλος του τριγώνου επανατέμνει την στο .

Αν $P= CF \cap (w1)$ και τα μέσα των αντίστοιχα, δείξτε ότι:

a. Η διέρχεται από το

b. $MN \perp PQ$

$\bullet$ Από τον κύκλο που διέρχεται από τα D,C,Q,P,E

με $\angle EDC={{90}^{0}}\Rightarrow \angle CPE=\angle EQC={{90}^{0}}\overset{\angle EAF={{90}^{0}}}{\mathop{\Rightarrow }}\,E,P,F,A$ και E,Q,B,A

είναι ομοκυκλικές τετράδες

Είναι $\angle FCB\overset{E,C,B,F\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle EFA$ (εσωτερική ίση με την απέναντι εξωτερική) και με $\angle EQC=\angle EAF={{90}^{0}}\Rightarrow \vartriangle EQC\sim \vartriangle EAF\Rightarrow \angle CEQ=\angle AEF:\left( 1 \right)$
Αλλά $\left( \angle CEF\overset{E,C,Q,P\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle CPQ\,\,\And \,\,\angle AEF\overset{E,A,F,P\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle APF \right)\overset{\left( 1 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,$ $\angle CPQ=\angle APF\overset{C,P,F\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \upsilon \theta \varepsilon \iota \alpha \kappa \alpha }{\mathop{\Rightarrow }}\,A,P,Q$ συνευθειακά (λόγω της θέσης των σημείων) και το πρωτο ζητούμενο έχει αποδειχθεί

: Συνευθειακότητα και καθετότητα σε δισορθογώνιο τραπέζιο.png (66.54 KiB) Προβλήθηκε 755 φορές

$\bullet$ Έστω

το μέσο της

. Τότε προφανώς $TN=\parallel \dfrac{PF}{2}\,\,\And \,\,TM=\parallel \dfrac{BQ}{2}:\left( 2 \right)$ (από τα μέσα των πλευρών των τριγώνων , οπότε $\angle NTM\overset{\pi \alpha \rho \alpha \lambda \lambda \eta \lambda \varepsilon \varsigma \,\,\pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho \varepsilon \varsigma \,\,\tau o\upsilon \,\,\iota \delta \iota o\upsilon \,\,\pi \rho o\sigma \alpha \nu \alpha \tau o\lambda \iota \sigma \mu o\upsilon }{\mathop{=}}\,\angle FCB\equiv$ $\angle PCA\overset{E,P,Q,C\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle PEQ:\left( 3 \right)$

Με $\angle QEB\overset{E,Q,B,A\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle QAB\equiv \angle PAF\overset{E,P,F,A\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle PEF\overset{\angle EQB=\angle EPF={{90}^{0}}}{\mathop{\Rightarrow }}\,$ $\Rightarrow \vartriangle EQB\sim \vartriangle EPF\Rightarrow \dfrac{QB}{PF}=\dfrac{EQ}{EF}\Rightarrow \dfrac{2TM}{2TN}=\dfrac{EQ}{EF}\Rightarrow \dfrac{TM}{TN}=\dfrac{EQ}{EF}:\left( 4 \right)$
Από $\left( 3 \right),\left( 4 \right)\Rightarrow \vartriangle PEQ\sim \vartriangle TNM:\left( 5 \right)$
Αλλά $\left( TM\parallel QB\overset{QB\bot EQ}{\mathop{\Rightarrow }}\,TM\bot EQ\,\,TN\parallel PF\overset{PF\bot EP}{\mathop{\Rightarrow }}\,TN\bot EP \right):\left( 6 \right)$
Από την ομοιότητα των εν λόγω τριγώνων (σχέση $\left( 5 \right)$ ) με δύο κάθετες πλευρές (μια προς μία) προκύπτει ότι και οι τρίτες πλευρές τους θα είναι κάθετες μεταξύ τους , δηλαδή $MN\bot PQ$ και το δεύτερο ζητούμενο έχει αποδειχθεί .

S.E.Louridas · #3

Γεια χαρά.
Απλά για το πρώτο και μόνο για λόγους πλουραλισμού και για μία καλησπέρα στον Υπερ- Γεωμέτρη και φίλο Στάθη που ειλικρινά μας λείπει να πω,

αν δεν έχω κάνει λάθος σκέψη, ότι η ευθεία

είναι η ευθεία του Simpson του

στο τρίγωνο CFB,

οπότε το

θα είναι σημείο της.

#4

S.E.Louridas έγραψε: Τετ Αύγ 14, 2024 10:46 pm Γεια χαρά.
Απλά για το πρώτο και μόνο για λόγους πλουραλισμού και για μία καλησπέρα στον Υπερ- Γεωμέτρη και φίλο Στάθη που ειλικρινά μας λείπει να πω,

αν δεν έχω κάνει λάθος σκέψη, ότι η ευθεία είναι η ευθεία του Simpson του στο τρίγωνο οπότε το θα είναι σημείο της.

Καλημέρα αγαπητέ μου φίλε Σωτήρη

Είναι προφανεστατο ότι δεν κάνεις κανένα λάθος, πραγματικά έτσι ακριβώς είναι και αβλεψία μου που δεν το σκέφτηκα ( στην ουσία την ευθεία Simpson απέδειξα) από τη στιγμή που υπάρχει ( κύκλος, καθετοτητα , συνευθειακοτητα )

Να είσαι πάντα καλά

S.E.Louridas · #5

sakis1963 έγραψε: Κυρ Ιούλ 21, 2024 10:28 pm 2020.040.4919 mathematica.jpg
Σε δισορθογώνιο τραπέζιο με $\angle A= \angle D= 90 ^{\circ}$ , κύκλος διερχόμενος από τα επανατέμνει τις στα αντίστοιχα, ενώ ο περίκυκλος του τριγώνου επανατέμνει την στο . Αν $P= CF \cap (w1)$ και τα μέσα των αντίστοιχα, δείξτε ότι: a. Η διέρχεται από το b. $MN \perp PQ$

Επειδή μου άρεσε το θέμα αυτό ας δώσω και την δική μου εκδοχή, αν και μετά από την άριστη διαπραγμάτευση του Στάθη,
αυτό το επιχειρώ μόνο και μόνο για λόγους πολυφωνίας.

Για το πρώτο:

Η ευθεία

είναι η ευθεία Simson του σημείου

για το εγγεγραμμένο τρίγωνο CFB,

οπότε το σημείο θα ανήκει στην ευθεία αυτή.

Για το δεύτερο:

Στο σχήμα που ακολουθεί καταρχάς τα σημεία $\displaystyle{V, M, N, L, Z}$ είναι τα αντίστοιχα μέσα, με τα M, L, Z

να είναι συνευθειακά.

Είναι τότε καθαρό ότι ισχύουν: $\displaystyle{OZ \bot PC}$ και $\displaystyle{\angle MVN = \angle JZL.}$

Αρκεί λοιπόν για το ζητούμενο μας να αποδείξουμε ότι τα τρίγωνα $\displaystyle{VMN, ZJL}$ είναι όμοια.

Παρατηρούμε ότι ισχύει $\displaystyle{\frac{{VM}}{{VN}} = \frac{{PF}}{{QB}}.}$

Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{\frac{{PF}}{{BQ}} = \frac{{2JZ}}{{CQ}} \Leftrightarrow \frac{{EP}}{{EQ}} = \frac{{2JZ}}{{CQ}}\;\;\left( {\vartriangle EFP \sim \vartriangle EBQ} \right),}$ αρκεί $\displaystyle{\frac{{OZ}}{{EQ}} = \frac{{JZ}}{{CQ}},}$

οπότε αρκεί $\displaystyle{\vartriangle EQC \sim \vartriangle ZOJ$ που ισχύει αφού $\angle JOZ = \angle LPZ = \angle QEC.}$

: eeddssaa.png (29.41 KiB) Προβλήθηκε 608 φορές

Συνευθειακότητα & καθετότητα σε δισορθογώνιο τραπέζιο

Συνευθειακότητα & καθετότητα σε δισορθογώνιο τραπέζιο

Re: Συνευθειακότητα & καθετότητα σε δισορθογώνιο τραπέζιο

Re: Συνευθειακότητα & καθετότητα σε δισορθογώνιο τραπέζιο

Re: Συνευθειακότητα & καθετότητα σε δισορθογώνιο τραπέζιο

Re: Συνευθειακότητα & καθετότητα σε δισορθογώνιο τραπέζιο

Μέλη σε σύνδεση