Τμήμα από γωνίες

KARKAR · #1

: Τμήμα από γωνίες.png (12.84 KiB) Προβλήθηκε 667 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, οι πράσινες γωνίες είναι ίσες . Υπολογίστε το τμήμα :

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 05, 2024 7:39 pm Τμήμα από γωνίες.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , οι πράσινες γωνίες είναι ίσες . Υπολογίστε το τμήμα :

Πρώτα- πρώτα αναγκαστικά η

εφάπτεται του κύκλου $\left( {C,P,B} \right)$ γιατί $\widehat {ACP} = \widehat {B_{}^{}}$ , οπότε $A{C^2} = AP \cdot AB = 4\left( {4 + 5} \right) = 36 \Rightarrow AC = 6$ .

Θέτω SC = ST = m

. Από Θ. Μενέλαου στο $\vartriangle SAB$ με διατέμνουσα $\overline {CTP}$ έχω :

: Τμήμα απο γωνίες.png (13.4 KiB) Προβλήθηκε 625 φορές

$\dfrac{{SC}}{{CA}} \cdot \dfrac{{AP}}{{PB}} \cdot \dfrac{{BT}}{{TS}} = 1 \Rightarrow \dfrac{m}{6} \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{x}{m} = 1 \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{15}}{2}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 05, 2024 7:39 pm Τμήμα από γωνίες.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , οι πράσινες γωνίες είναι ίσες . Υπολογίστε το τμήμα :

H

εφάπτεται του κύκλου (C,P,B)

άρα $AC^2=4.9=36\Rightarrow AC=6$

Η κάθετη στην

στο

τέμνει την

στο

και λόγω ισότητας των κόκκινων

γωνιών ,είναι BA=AQ=9

και

είναι εγγράψιμμο σε κύκλο

Στο ορθογώνιο τρίγωνο CTN

είναι

κι αν

μέσον της

, θα είναι AM//QC

και το

είναι ισοσκελές τραπέζιο,άρα MN=AC=6

συνεπώς

Τώρα, $BT.BN=BP.BQ\Rightarrow 12x=90 \Rightarrow x= \dfrac{15}{2}$

: τμήμα από γωνίες.png (40.89 KiB) Προβλήθηκε 619 φορές

#4

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 05, 2024 7:39 pm Τμήμα από γωνίες.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , οι πράσινες γωνίες είναι ίσες . Υπολογίστε το τμήμα :

:

Αν ονομάσουμε με $\theta$ κάθε μια από τις ίσες γωνίες της εκφώνησης και , θα ισχύουν:

$\left\{ \begin{gathered} \tan \theta = \frac{b}{9} \hfill \\ \tan \theta = \frac{4}{b} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow b = 6$

Έχω τώρα : $\tan \theta = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \tan 2\theta = \dfrac{{2\tan \theta }}{{1 - {{\tan }^2}\theta }} = \dfrac{{12}}{5}$ και συνεπώς: $\tan 2\theta = \dfrac{{AB}}{{AS}} \Rightarrow \dfrac{{12}}{5} = \dfrac{9}{{6 - m}} \Rightarrow m = \dfrac{9}{4}$

: Τμήμα απο γωνίες_new.png (16.61 KiB) Προβλήθηκε 580 φορές

Από το Π. Θ. στο $\vartriangle ABS$ , προκύπτει : $S{B^2} = A{B^2} + S{A^2} \Rightarrow {\left( {x + \dfrac{9}{4}} \right)^2} = {9^2} + {\left( {6 - \dfrac{9}{4}} \right)^2}$ , απ’ όπου έχω μόνο μια θετική ρίζα $\boxed{x = \dfrac{{15}}{2}}$ .

KARKAR · #5

: Τμήμα από γωνίες.png (13.39 KiB) Προβλήθηκε 558 φορές

Εναλλακτικές εκφωνήσεις ( ανεξάρτητα από τα συγκεκριμένα μήκη των τμημάτων AP , PB

) :

α) Βρείτε την θέση του σημείου

, ώστε η μπλε γωνία να ισούται με τις ( ίσες ) πράσινες .

β) Αν οι τρεις έγχρωμες γωνίες είναι ίσες , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{BT}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: Τρί Αύγ 06, 2024 12:57 pm Τμήμα από γωνίες.pngΕναλλακτικές εκφωνήσεις ( ανεξάρτητα από τα συγκεκριμένα μήκη των τμημάτων ) :

α) Βρείτε την θέση του σημείου , ώστε η μπλε γωνία να ισούται με τις ( ίσες ) πράσινες .

β) Αν οι τρεις έγχρωμες γωνίες είναι ίσες , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{BT}$ .

Εργαζόμενοι ακριβώς όμοια όπως στην προηγούμενη ανάρτησή μου για το ίδιο θέμα βρίσκουμε $x= \dfrac{c^2-b^2}{b}$

Με SL//CP

η

είναι διχοτόμος της γωνίας ASB

,άρα $\dfrac{BS}{BL}= \dfrac{y}{n}= \dfrac{c}{b}$ (αφού $\triangle ASL \simeq \triangle ABC$ )

Συνεπώς $\dfrac{ \sqrt{y^2+c^2} }{c- \dfrac{b}{c}y }= \dfrac{c}{b} \Rightarrow y= \dfrac{c^2-b^2}{2b}$ και $\dfrac{y}{x}= \dfrac{1}{2}$

: Tμήμα από γωνίες.png (51.18 KiB) Προβλήθηκε 533 φορές

Τμήμα από γωνίες

Τμήμα από γωνίες

Re: Τμήμα από γωνίες

Re: Τμήμα από γωνίες

Re: Τμήμα από γωνίες

Re: Τμήμα από γωνίες

Re: Τμήμα από γωνίες

Μέλη σε σύνδεση