Κατασκευή Απόδειξη στοιχειωδώς

#1

Έστω ευθεία , $\varepsilon$ και δύο σημεία A,B

προς το ίδιο μέρος της. Ας είναι

το συμμετρικό του

ως προς την, $\varepsilon$

και S,T

τα σημεία τομής των $BA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BA'$ , με την $\varepsilon$ . Γράφω τον περιγεγραμμένο κύκλο του $\vartriangle BST$ και έστω

το κέντρο του .

: Κατασκευή απόδειξη στοιχειωδώς.png (28.36 KiB) Προβλήθηκε 367 φορές

Η μεσοκάθετος του A'B

με την ευθεία

τέμνονται στο

. Γράφω τον κύκλο $\left( {K,KB} \right)$ και τέμνει την ευθεία $\varepsilon$ στα $C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C'$ .

Να αποδείξετε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των $\vartriangle ABC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle ABC'$ εφάπτονται στην ευθεία $\varepsilon$ .

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

Έστω

η κοινή εφαπτόμενη ημιευθεία στους κύκλους (K,KB)

,

(είναι εκείνη που τέμνει την $CC^\prime$ )
$\angle A^\prime Bx =\angle A^\prime C^\prime B=\angle A^\prime C^\prime C+\angle CC^\prime B$ (1)
$\angle TBx =\angle TSB =\angle CC^\prime B+\angle C^\prime BS$ (2)
πρώτα μέλη ίσα $\Rightarrow \angle C^\prime BA=\angle A^\prime C^\prime C =\angle A^\prime B C$ (3)

Από αυτό λαμβάνουμε αφ' ενός
$\bullet \angle AC^\prime C=\angle A^\prime C^\prime C =\angle C^\prime BA$
$\Rightarrow$ $CC^\prime$ εφαπτόμενη στον περιγεγραμμένο κύκλο του $\triangle ABC^\prime$

και αφ' ετέρου
$\bullet\angle ACC^\prime=\angle C^\prime CA^\prime$ $=\angle C^\prime BA^\prime=\angle C^\prime BA+\angle ABA^\prime$ =(*)
Το (3) δίνει (*) $=\angle A^\prime BC+\angle ABA^\prime =\angle ABC$
$\Rightarrow$ $CC^\prime$ εφαπτόμενη στον περιγεγραμμένο κύκλο του $\triangle ABC$ $\blacksquare$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ

Το (3) σημαίνει ότι οι ημιευθείες BS,BT

είναι συμμετρικές ως προς τη διχοτόμο της γωνίας $\angle B$ του τριγώνου $\triangle C^\prime BC$ . Μπορούμε επιπλέον να αποδείξουμε ότι το

είναι μέσον του $CC^\prime$ οπότε το

είναι συμμετροδιάμεσος του $\triangle CBC^\prime$

Παραθέτω και την απόδειξη για να μην πάει χαμένος ο κόπος...

Έστω

το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των $A^\prime B$ και $AA^\prime$

κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του $\triangle A^\prime AB$ (πορτοκαλί τόξο)
$\Rightarrow$ $\angle SBA^\prime=\angle ABA^\prime=\dfrac{1}{2}\cdot \angle ALA^\prime$ $=\angle SLA^\prime$
$\Rightarrow SBLA^\prime$ ομοκυκλικά (4)

Έστω

το αντιδιαμετρικό του

στον κύκλο (O,OB)

οπότε $\angle MTS=\angle MBS$ (5)

διάμετρος $\Rightarrow MT\perp TB \perp KL$ $\Rightarrow \angle MTS=\angle KLS$ (6)

Από (5,6,4) $\angle KBS=\angle MBS=\angle KLS$ $\Rightarrow SKBLA^\prime$ ομοκυκλικά
(magenta κύκλος στο επισυνημμένο)

μεσοκάθετος $A^\prime B$ $\Rightarrow$

διάμετρος του κύκλου των $SKBLA^\prime$
$\Rightarrow \angle KSL=90^o$ $\Rightarrow KS\perp CC^\prime$
Επειδή

κέντρο του κύκλου (K, KB)

έπεται $CS=SC^\prime$

Κατασκευή Απόδειξη στοιχειωδώς

Κατασκευή Απόδειξη στοιχειωδώς

Re: Κατασκευή Απόδειξη στοιχειωδώς

Μέλη σε σύνδεση