Οσκαρική συνευθειακότητα

[KARKAR]

Οσκαρική συνευθειακότητα.png (23.79 KiB) Προβλήθηκε 870 φορές

Στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο , είναι : . Η εφαπτομένη του κύκλου

στην κορυφή , τέμνει την προέκταση της στο , ενώ η τέμνει τον κύκλο στο .

Δείξτε ότι το μέσο του , το σημείο και η κορυφή , είναι συνευθειακά .

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Οσκαρική συνευθειακότητα.pngΣτο εγγεγραμμένο τετράπλευρο , είναι : . Η εφαπτομένη του κύκλου στην κορυφή , τέμνει την προέκταση της στο , ενώ η τέμνει τον κύκλο στο .Δείξτε ότι το μέσο του , το σημείο και η κορυφή , είναι συνευθειακά .

Οσκαρική συνευθειακότητα.png (34.57 KiB) Προβλήθηκε 847 φορές

Έστω . Από και αφαπτόμενη προκύπτει ότι

Από το πλήρες τετράπλευρο προκύπτει ότι η σειρά είναι αρμονική (κάθε διαγώνιος πλήρους τετραπλεύρου χωρίζεται αρμονικά από τις άλλες δύο και με εφαπτόμενη του περίκυκλου προκύπτει ότι σημείο της πολικής του ως προς τον κύκλο, οπότε με εφαπτόμενη του κύκλου προκύπτει ότι η ευθεία είναι η πολική του ως προς τον άρα η σειρά είναι αρμονική , με , άρα και η δέσμη είναι αρμονική , με και επειδή προκύπτει ότι το είναι το μέσο της και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί

Θανάση θέλω το Όσκαρ

[KARKAR]

Χρησιμοποιώντας την έκφραση "αρμονία" , οι πιθανότητες απονομής του όσκαρ ελαχιστοποιούνται

Περίμενε πρώτα να δούμε και καμιά άλλη "συμμετοχή" .

Άσε που το βραβείο το παίρνει συνήθως ο "σκηνοθέτης" , παρά ο πρωταγωνιστής

Σίγουρα πάντως παίρνεις το " επίδομα έγκαιρης προσέλευσης "

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Χρησιμοποιώντας την έκφραση "αρμονία" , οι πιθανότητες απονομής του όσκαρ ελαχιστοποιούνται

Περίμενε πρώτα να δούμε και καμιά άλλη "συμμετοχή" .

Άσε που το βραβείο το παίρνει συνήθως ο "σκηνοθέτης" , παρά ο πρωταγωνιστής

Σίγουρα πάντως παίρνεις το " επίδομα έγκαιρης προσέλευσης "

Μία απορία : Ποιος είναι ο Σκηνοθέτης χωρίς τα εισαγωγικά ;

[Μιχάλης Τσουρακάκης]

Οσκαρική συνευθειακότητα.pngΣτο εγγεγραμμένο τετράπλευρο , είναι : . Η εφαπτομένη του κύκλου

στην κορυφή , τέμνει την προέκταση της στο , ενώ η τέμνει τον κύκλο στο .

Δείξτε ότι το μέσο του , το σημείο και η κορυφή , είναι συνευθειακά .

Με συμμετρικό του ως προς το είναι παραλ/μμο

Είναι

Λόγω και της εφαπτομένης εύκολα προκύπτει η ισότητα των γωνιών όπως και των γωνιών

Έτσι ομοκυκλικά κι επειδή

τα είναι συνευθειακά

Οσκαρική συνευθειακότητα.png (56.81 KiB) Προβλήθηκε 770 φορές

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Οσκαρική συνευθειακότητα.pngΣτο εγγεγραμμένο τετράπλευρο , είναι : . Η εφαπτομένη του κύκλου

στην κορυφή , τέμνει την προέκταση της στο , ενώ η τέμνει τον κύκλο στο .

Δείξτε ότι το μέσο του , το σημείο και η κορυφή , είναι συνευθειακά .

Με συμμετρικό του ως προς το είναι παραλ/μμο

Είναι

Λόγω και της εφαπτομένης εύκολα προκύπτει η ισότητα των γωνιών όπως και των γωνιών

Έτσι ομοκυκλικά κι επειδή

τα είναι συνευθειακά

Οσκαρική συνευθειακότητα.png

[abfx]

Στο παραπάνω σχήμα το είναι το σημείο τομής της με την . Δείχνουμε ότι το ταυτίζεται με το μέσο του .

Είναι και από χορδή-εφαπτομένη έχουμε:

.

Άρα οπότε τα τρίγωνα και είναι όμοια.

Από την παραπάνω ομοιότητα έχουμε .

Αλλά από δύναμη σημείου οπότε και έχουμε , επομένως τα είναι συνευθειακά.

[KARKAR]

Αυτή η λύση κέρδισε το !

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Αυτή η λύση κέρδισε το !

Πράγματι Θανάση η πιο πάνω λύση είναι για πολλά OSKAR!!!

[KARKAR]

Μία απορία : Ποιος είναι ο Σκηνοθέτης χωρίς τα εισαγωγικά ;

Βασισμένη στην :

Almaty ( Kazakhstan) Olympiad

In bisector is drawn . The tangent at to the circumcircle of the triangle intersects the side

at the point . The line intersects at . Prove that the line passes through the middle of the segment .

Ο υπήρξε υποψήφιος για την καλύτερη μεταποίηση σεναρίου . Αποτελέσματα δεν εξεδόθησαν