Η τέταρτη πλευρά

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15538
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Η τέταρτη πλευρά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Οκτ 02, 2024 10:13 am

Η  τέταρτη πλευρά.png
Η τέταρτη πλευρά.png (5.93 KiB) Προβλήθηκε 199 φορές
Στο τετράπλευρο του σχήματος , όπου οι πράσινες γωνίες είναι ίσες , υπολογίστε την πλευρά CD .

Στην συνέχεια , σχεδιάστε και υπολογίστε την διχοτόμο DS , της γωνίας \widehat{BDC} .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 16248
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Η τέταρτη πλευρά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Οκτ 02, 2024 12:12 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Οκτ 02, 2024 10:13 am
Στο τετράπλευρο του σχήματος , όπου οι πράσινες γωνίες είναι ίσες , υπολογίστε την πλευρά CD .

Στην συνέχεια , σχεδιάστε και υπολογίστε την διχοτόμο DS , της γωνίας \widehat{BDC} .
Προεκτείνουμε τις AD, BC μέχρι να τμηθούν στο E. Το τρίγωνο EDC είναι ισοσκελές, έστω με ED=EC=y.

Από το ορθογώνιο τρίγωνο EAB του οποίου οι πλευρές είναι 3a, a+y, 2a+y έχουμε

(3a)^2+ (a+y)^2= (2a+y)^2. Άρα (πρωτοβάθμια) y=3a.

Στο EDC τώρα ο Νόμος των Συνημιτόνων δίνει

x^2= y^2+y^2-2y^2\cos E = 9a^2+9a^2-2\cdot 9a^2 \cdot \dfrac {EA}{EB}= 18a^2-18a^2 \cdot \dfrac {4}{5}=\dfrac {18}{5}a^2

Άρα \boxed { x= \dfrac {3}{5} \sqrt {10}a}.

Τα υπόλοιπα τώρα είναι άμεσα: Ο σχεδιασμός της διχοτόμου είναι απλός και ο υπολογισμός της είναι ρουτίνα από έτοιμο τύπο στο τρίγωνο DBC με γνωστές όλες του τις πλευρές, εδώ DC= \dfrac {3}{5} \sqrt {10}a, BC=2a, BD = \sqrt {10}a. O τύπος είναι \delta_a = \dfrac {2}{b+c}\sqrt {bcs(s-a)}, και αν έκανα σωστά τις πράξεις δίνει \delta _a= \dfrac {9}{4}.
Συνημμένα
isosk.png
isosk.png (15.18 KiB) Προβλήθηκε 182 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10197
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Η τέταρτη πλευρά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Οκτ 02, 2024 5:07 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Οκτ 02, 2024 10:13 am
Η τέταρτη πλευρά.pngΣτο τετράπλευρο του σχήματος , όπου οι πράσινες γωνίες είναι ίσες , υπολογίστε την πλευρά CD .

Στην συνέχεια , σχεδιάστε και υπολογίστε την διχοτόμο DS , της γωνίας \widehat{BDC} .
Η τέταρτη πλευρά.png
Η τέταρτη πλευρά.png (24.17 KiB) Προβλήθηκε 152 φορές
Θα γράψω και τα λόγια.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13617
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Η τέταρτη πλευρά

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Οκτ 02, 2024 5:53 pm

Δίνω μία κατασκευή του σχήματος.
Η τέταρτη πλευρά.K.png
Η τέταρτη πλευρά.K.png (18.26 KiB) Προβλήθηκε 143 φορές
Επί του τμήματος AB=3a θεωρώ σημείο E ώστε AE=a και κατασκευάζω το τετράγωνο AEKD.

Οι κύκλοι (K, a), (B, 2a) τέμνονται και σε ένα δεύτερο σημείο C διαφορετικό του E. Το ABCD είναι

το ζητούμενο τετράπλευρο.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10197
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Η τέταρτη πλευρά

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Οκτ 02, 2024 6:31 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Οκτ 02, 2024 10:13 am
Η τέταρτη πλευρά.pngΣτο τετράπλευρο του σχήματος , όπου οι πράσινες γωνίες είναι ίσες , υπολογίστε την πλευρά CD .

Στην συνέχεια , σχεδιάστε και υπολογίστε την διχοτόμο DS , της γωνίας \widehat{BDC} .
Έχω σταθερά το AB = 3a\,\,, το κάθετο τμήμα σ αυτό DA = a και τον κύκλο \left( {B,2a} \right). Έστω ότι κατασκεύασα το όλο σχήμα .

Ας είναι J,\,\, η κορυφή του ισοσκελούς τριγώνου , που προέκυψε από τις AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BS και M το μέσο του DC.

Η ευθεία CD τέμνει την ABστο E και τον κύκλο ακόμα στο T. Τα \vartriangle ADE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle MDJ είναι όμοια .

Ακόμα τα ισοσκελή τρίγωνα JDC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BTCέχουν ίσες γωνίες στο C άρα είναι όμοια ,

συνεπώς οι γωνίες των κορυφών τους στα , J\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B\,\,, είναι από 2\theta κάθε μια , οπότε JA//TB. Επειδή AB//BT

θα είναι τα A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D μέσα των EB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ET. Το E είναι και αυτό σταθερό , συμμετρικό του B ως προς το A.
Η τέταρτη πλευρά_Αν;άλυση Κατασκευή.png
Η τέταρτη πλευρά_Αν;άλυση Κατασκευή.png (20.95 KiB) Προβλήθηκε 135 φορές
Κατασκευή :

Η ημιευθεία τέμνει το κύκλο \left( {B,2a} \right) σε δύο σημεία , το πρώτο εξ αυτών είναι το C. Η BC τέμνει την AD στο J.

Εύκολα τώρα διαπιστώνουμε ότι στο ορθογώνιο ABJ είναι : \boxed{\tan 2\theta  = \dfrac{{2\dfrac{1}{3}}}{{1 - \dfrac{1}{9}}} = \dfrac{3}{4}} , συνεπώς AB = 3a\,\,,\,\,AJ = 4a\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BJ = 5a\,\,.

Υπολογισμοί :

\boxed{DC = \frac{3}{5}DT = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}ET = \frac{3}{{10}}\sqrt {36{a^2} + 4{a^2}}  = \frac{{3a\sqrt {10} }}{5}} και \boxed{DS = \frac{3}{4}AB = \frac{3}{4} \cdot 3a = \frac{{9a}}{4}}.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13617
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Η τέταρτη πλευρά

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Οκτ 03, 2024 10:35 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Οκτ 02, 2024 10:13 am
Η τέταρτη πλευρά.pngΣτο τετράπλευρο του σχήματος , όπου οι πράσινες γωνίες είναι ίσες , υπολογίστε την πλευρά CD .

Στην συνέχεια , σχεδιάστε και υπολογίστε την διχοτόμο DS , της γωνίας \widehat{BDC} .
Εκ κατασκευής (#4) είναι \displaystyle \sin (E\widehat KB) = \sin \theta  = \frac{2}{{\sqrt 5 }} και ομοίως \displaystyle \cos \theta  = \frac{1}{{\sqrt 5 }}. Από νόμο ημιτόνων στο DEC:

\displaystyle \frac{x}{{\sin (135^\circ  - \theta )}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\sin 45^\circ }} = 2a \Leftrightarrow x = 2a \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\cos \theta  + \sin \theta } \right) \Leftrightarrow \boxed{x=\frac{3a\sqrt{10}}{5}}
Η τέταρτη πλευρά.K1.png
Η τέταρτη πλευρά.K1.png (23.26 KiB) Προβλήθηκε 90 φορές
Με θεώρημα διχοτόμου στο DBC εύκολα βρίσκω \displaystyle CS = \frac{{3a}}{4},BS = \frac{{5a}}{4} και από τον τύπο

\displaystyle D{S^2} = DC \cdot DB - CS \cdot SB παίρνω \boxed{DS=\frac{9a}{4}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: KARKAR και 1 επισκέπτης