Συνευθειακά 14

[KARKAR]

Συνευθειακά 14.png (24.59 KiB) Προβλήθηκε 168 φορές

Κύκλος ο οποίος εφάπτεται στο κέντρο , ημικυκλίου διαμέτρου , τέμνει το ημικύκλιο σε δύο σημεία ,

ένα από τα οποία ονομάζουμε . Ένα σημείο κινείται στον κύκλο και έστω η τομή του με το ημικύκλιο .

α) Δείξτε ότι το έγκεντρο του τριγώνου και τα σημεία είναι συνευθειακά .

β) Για ποια θέση του σημείου , προκύπτει : ;

[Μιχάλης Τσουρακάκης]

Συνευθειακά 14.png Κύκλος ο οποίος εφάπτεται στο κέντρο , ημικυκλίου διαμέτρου , τέμνει το ημικύκλιο σε δύο σημεία ,

ένα από τα οποία ονομάζουμε . Ένα σημείο κινείται στον κύκλο και έστω η τομή του με το ημικύκλιο .

α) Δείξτε ότι το έγκεντρο του τριγώνου και τα σημεία είναι συνευθειακά .

β) Για ποια θέση του σημείου , προκύπτει : ;

Α)Τα τρίγωνα είναι ίσα αφού κοινή και .

Άρα ,

Επειδή όμως (γνωστό) και

άρα εγγράψιμμο ,συνεπώς

Όμως από την ισότητα των τριγώνων είναι οπότε συνευθειακά

Β)Έστω το δεύτερο σημείο τομής του ημικυκλίου με τον κύκλο.

Όταν το είναι ισοσκελές τραπέζιο .Επειδή και τα είναι συνευθειακά και

και ισοσκελές τραπέζιο άρα

Το προσδιορίζεται λοιπόν ως η τομή του ημικυκλίου με τον κύκλο

Συνευθειακά 14.png (48.52 KiB) Προβλήθηκε 109 φορές

[Ιάσων Κωνσταντόπουλος]

Το πρέπει να κινείται στο τόξο του κύκλου που δεν περιέχει το όπου είναι το έτερο σημείο τομής του ημικυκλίου με τον κύκλο.

α) Έστω το σημείο τομής της διχοτόμου της με την
Τα τρίγωνα και είναι ίσα
Επομένως το τρίγωνο είναι ισοσκελές
Οπότε
και συνεπώς το είναι εγγράψιμο οπότε
οπότε διχοτομεί την

Έχουμε λοιπόν ότι το είναι σημείο του περικύκλου του

Χωρίς απόδειξη θα ισχυριστούμε ότι:
ειδικότερα το βαίνει στο ελάσσον τόξο αυτού (χωρίς όμως να συμπίπτει ποτέ με το ) όπου το σημείο είναι η θέση που λαμβάνει το στην ειδική περίπτωση που . Αυτό σημαίνει ότι το θα συμπίπτει με το σημείο τομής της (που είναι η διχοτόμος της ) με τη μεσοκάθετο του
αν το είναι σημείο του προαναφερθέντος ελάσσονος τόξου πλην του , τότε η κορυφή του τριγώνου με κορυφές και έγκεντρο θα βαίνει στο προαναφερθέν τόξο

β) Εδώ θα προσεγγίσουμε το δεύτερο ερώτημα συμπληρωματικά με την κατασκευή που προτείνεται στο ποστ #2. Εκεί αποδείχθηκε μεταξύ άλλων ότι για τις θέσεις του που τυγχάνει η ζητούμενη θέση του να υπάρχει, ο κύκλος , η και το ελάσσον τόξο συντρέχουν στο έγκεντρο (αναγκαίο)

Για το υπάρχουν δυο περιπτώσεις:
#1. Να βρίσκεται εντός του κύκλου
#2. Να βρίσκεται επί ή εκτός του κύκλου

Θα ισχυριστούμε χωρίς απόδειξη (πάλι!) ότι η ζητούμενη θέση του υπάρχει αν και μόνο αν ισχύει η #1. και θα αποδείξουμε ότι εφ' όσον για το ισχύει η περίπτωση #1. όντως ο , η και το ελάσσον συντρέχουν.

Πράγματι, εφ' όσον ισχύει η #1. το και το ελάσσον τέμνονται σε ένα σημείο (αυτό δεν θα το αποδείξουμε). Θα δείξουμε ότι το είναι και σημείο του κύκλου αποτελώντας ούτως το έγκεντρο του τριγώνου όταν το έχει τη θέση που αναζητούμε (ικανό).

(Σημειώνουμε ότι γνωρίζοντας τη θέση του εγκέντρου μπορούμε χρησιμοποιώντας το πρώτο ερώτημα να κατασκευάσουμε την επιθυμητή θέση του . Όμως ο Μιχάλης στην απάντησή του προτείνει μια καλύτερη κατασκευή που αποτελείται μόνο από μια τομή δυο κύκλων.)

Το τραπέζιο είναι εγγράψιμο οπότε είναι ισοσκελές.
Τα ανήκουν στον ίδιο κύκλο οποίος έχει διάμετρο το

Επειδή διχοτομεί την θα είναι οπότε οπότε έχουμε φτάσει στο αποδεικτέο. Το είναι (το μοναδικό) σημείο τομής του ελάσσονος και του οπότε είναι η θέση που έχει το έγκεντρο του για τη ζητούμενη θέση του