Κύκλοι που συντρέχουν

[achilleas]

Στο εξωτερικό ενός οξυγώνιου τριγώνου κατασκευάζουμε τρία ισοσκελή τρίγωνα , και , με , , και , τέτοια ώστε , και . Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι , και συντρέχουν.

[Dimessi]

Καλό και για σχολείο... Στην εκ του Α παράλληλη στην ΒΓ παίρνουμε αριστερά του Α σημείο Κ με ΑΚ=ΒΓ και δεξιά του Α σημείο Λ με ΑΛ=ΒΓ και σχηματίζονται τα παραλληλόγραμμα ΑΚΒΓ,ΑΒΓΛ από τα οποία ΑΚΒ=ΑΓΒ και ΑΛΓ=ΑΒΓ. Άρα ΔΑ=ΔΒ και ΑΔΒ=2ΑΓΒ=2ΑΚΒ οπότε Δ περίκεντρο του ΑΚΒ και όμοια Ε περίκεντρο του ΑΛΓ. Αν οι κύκλοι (Δ,ΔΑ) και (Ε,ΕΑ) τέμνονται ξανά στο Η, τότε από εγγραψιμότητες ΑΗΒ παραπληρωματική της ΑΓΒ και ΑΗΓ παραπληρωματική της ΑΒΓ. Άρα ΒΗΓ παραπληρωματική της ΒΑΓ. Επειδή ΒFΓ=2ΒΑΓ έπεται ΒΗΓ παραπληρωματική της ΒFΓ/2 κι επειδή ΒF=FΓ έπεται ότι ο κύκλος (F,FΓ) περναέι από το Η..