Χωρίς την υποτείνουσα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15651
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Χωρίς την υποτείνουσα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Νοέμ 11, 2024 8:07 pm

Χωρίς  την υποτείνουσα.png
Χωρίς την υποτείνουσα.png (8.64 KiB) Προβλήθηκε 185 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC , είναι : AB=6 , AC=9 . Βρείτε σημείο S της υποτείνουσας BC και σημείο P

της πλευράς AC , τέτοια ώστε : PS \perp AS και η περίμετρος του ορθογωνίου τριγώνου ASP , να ισούται με 15 .



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2952
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Χωρίς την υποτείνουσα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Νοέμ 12, 2024 2:07 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Νοέμ 11, 2024 8:07 pm
Χωρίς την υποτείνουσα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο ABC , είναι : AB=6 , AC=9 . Βρείτε σημείο S της υποτείνουσας BC και σημείο P

της πλευράς AC , τέτοια ώστε : PS \perp AS και η περίμετρος του ορθογωνίου τριγώνου ASP , να ισούται με 15 .
Κατασκευάζουμε το παραλ/μμο ABCD .Το ημικύκλιο διαμέτρου AD τέμνει την

BC στο S και η SD την AC στο P.Η απόδειξη είναι απλή
χωρίς την υποτείνουσα.png
χωρίς την υποτείνουσα.png (14.08 KiB) Προβλήθηκε 154 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10211
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Χωρίς την υποτείνουσα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Νοέμ 12, 2024 7:34 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Νοέμ 11, 2024 8:07 pm
Χωρίς την υποτείνουσα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο ABC , είναι : AB=6 , AC=9 . Βρείτε σημείο S της υποτείνουσας BC και σημείο P

της πλευράς AC , τέτοια ώστε : PS \perp AS και η περίμετρος του ορθογωνίου τριγώνου ASP , να ισούται με 15 .
Αν η προβολή του S στην BC είναι το σημείο D προκύπτουν δύο λύσεις : \boxed{AD = \frac{{72}}{{13}}} ή \boxed{AD = \frac{{9\left( {7 - \sqrt {21} } \right)}}{4}}
Συνημμένα
Χωρίς την  υποτείνουσα_b.png
Χωρίς την υποτείνουσα_b.png (17.59 KiB) Προβλήθηκε 140 φορές
Χωρίς την  υποτείνουσα_a.png
Χωρίς την υποτείνουσα_a.png (16.41 KiB) Προβλήθηκε 140 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10211
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Χωρίς την υποτείνουσα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Νοέμ 12, 2024 7:36 am

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε:
Τρί Νοέμ 12, 2024 2:07 am
KARKAR έγραψε:
Δευ Νοέμ 11, 2024 8:07 pm
Χωρίς την υποτείνουσα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο ABC , είναι : AB=6 , AC=9 . Βρείτε σημείο S της υποτείνουσας BC και σημείο P

της πλευράς AC , τέτοια ώστε : PS \perp AS και η περίμετρος του ορθογωνίου τριγώνου ASP , να ισούται με 15 .
Κατασκευάζουμε το παραλ/μμο ABCD .Το ημικύκλιο διαμέτρου AD τέμνει την

BC στο S και η SD την AC στο P.Η απόδειξη είναι απλή

χωρίς την υποτείνουσα.png
:clap2:

Πολύ ωραία λύση Μιχάλη .

Έχω διαφορετική λύση αλλά όχι τόσο όμορφη . τα λόγια θα τα γράψω αργότερα .( πρώτα η δουλειά μετά η "διασκέδαση")


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13696
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Χωρίς την υποτείνουσα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Νοέμ 12, 2024 9:58 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Νοέμ 11, 2024 8:07 pm
Χωρίς την υποτείνουσα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο ABC , είναι : AB=6 , AC=9 . Βρείτε σημείο S της υποτείνουσας BC και σημείο P

της πλευράς AC , τέτοια ώστε : PS \perp AS και η περίμετρος του ορθογωνίου τριγώνου ASP , να ισούται με 15 .
Σε τυχαίο ορθογώνιο.
Χωρίς την υποτείνουσα.png
Χωρίς την υποτείνουσα.png (14.94 KiB) Προβλήθηκε 128 φορές
Ο κύκλος (A,c) τέμνει την υποτείνουσα στο S. Φέρνω και την SP\bot AS.

Εύκολα προκύπτουν οι ίσες γωνίες του ίδιου χρώματος στο σχήμα. Το ορθογώνιο τρίγωνο

ASP έχει περίμετρο b+c και x=\dfrac{b^2-c^2}{2b}.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15651
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Χωρίς την υποτείνουσα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Νοέμ 12, 2024 10:21 am

...Και αναφύεται τώρα το ερώτημα . Αν το S μπορεί βρίσκεται σε περισσότερες από μία θέσεις , είναι - σύμφωνα

με την εκφώνηση - ο λύτης υποχρεωμένος να βρει όλες αυτές τις θέσεις , για να θεωρηθεί η απάντηση πλήρης ;


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10211
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Χωρίς την υποτείνουσα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Νοέμ 12, 2024 10:46 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Νοέμ 12, 2024 10:21 am
...Και αναφύεται τώρα το ερώτημα . Αν το S μπορεί βρίσκεται σε περισσότερες από μία θέσεις , είναι - σύμφωνα

με την εκφώνηση - ο λύτης υποχρεωμένος να βρει όλες αυτές τις θέσεις , για να θεωρηθεί η απάντηση πλήρης ;
Το σύστημα που μου έδωσε τις δυο λύσεις είναι :
Χωρίς την  υποτείνουσα_Ευκλείδεια λύση.png
Χωρίς την υποτείνουσα_Ευκλείδεια λύση.png (10.42 KiB) Προβλήθηκε 119 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  y = \frac{{2\left( {9 - x} \right)}}{3} \hfill \\ 
  \sqrt {{x^2} + {y^2}} \left( {1 + \frac{y}{x}} \right) + x + \frac{{{y^2}}}{x} = 15 \hfill \\  
\end{gathered}  \right.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15651
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Χωρίς την υποτείνουσα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Νοέμ 12, 2024 5:01 pm

Το θέμα προέκυψε ως εξής : Η περίμετρος του μπλε τριγώνου παρουσιάζει για κάποια θέση του S , ολικό

ελάχιστο , το οποίο διεπίστωσα ( με λογισμικό ) , ότι είναι είναι ελάχιστα μικρότερο του 15 (δοκιμάστε το) ,

οπότε ανέμενα ( και) την δεύτερη λύση . :?


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13696
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Χωρίς την υποτείνουσα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Νοέμ 13, 2024 11:20 am

Η συνάρτηση που δίνει την περίμετρο του τριγώνου ASP συναρτήσει του x είναι:
Χωρίς υποτείνουσα.png
Χωρίς υποτείνουσα.png (10.69 KiB) Προβλήθηκε 57 φορές
\displaystyle f(x) = \frac{{13{x^2} - 72x + 324}}{{9x}} + \frac{{\sqrt {13{x^2} - 72x + 324} }}{3} + \frac{{\sqrt {(13{x^2} - 72x + 324)(4{x^2} - 72x + 324)} }}{{9x}}

απ' όπου \boxed{{f_{\min }} \simeq 14,999} όταν \boxed{x\simeq 5,48858} Σε περίπτωση που η περίμετρος είναι 15 οι τιμές του x είναι αυτές

που δίνει πιο πάνω ο φίλτατος Νίκος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης