Χορδή ίση με εφαπτόμενο τμήμα

#1

: Χορδή ίση με εφαπτόμενο τμήμα.png (25.61 KiB) Προβλήθηκε 310 φορές

Έστω οξυγώνιο $\vartriangle ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο

, στο οποίο $\widehat {BAC_{}^{}} > \widehat {CBA_{}^{}}$ . Στην πλευρά

έστω σημείο

με $\theta = \widehat {DAC_{}^{}} = \widehat {CBA_{}^{}}$ .

Κύκλος $\Omega$ εφάπτεται, του τμήματος

στο

, της πλευράς

στο

και του κύκλου

στο

.

Να δειχθεί ότι η χορδή

ισούται με το εφαπτόμενο τμήμα ,

. ( Όλες οι λύσεις με ή χωρίς υψηλού επιπέδου εργαλεία , δεκτές)

#2

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 27, 2025 10:52 am
Χορδή ίση με εφαπτόμενο τμήμα.png
Έστω οξυγώνιο $\vartriangle ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο , στο οποίο $\widehat {BAC_{}^{}} > \widehat {CBA_{}^{}}$ . Στην πλευρά έστω σημείο με $\theta = \widehat {DAC_{}^{}} = \widehat {CBA_{}^{}}$ .

Κύκλος $\Omega$ εφάπτεται, του τμήματος στο , της πλευράς στο και του κύκλου στο .

Να δειχθεί ότι η χορδή ισούται με το εφαπτόμενο τμήμα , . ( Όλες οι λύσεις με ή χωρίς υψηλού επιπέδου εργαλεία , δεκτές)

Η

τέμνει τον εξωτερικό κύκλο στο

Φέρνω την κοινή εφαπτομένη

των δύο κύκλων και ονομάζω $\omega$ την

καθεμία από τις κόκκινες γωνίες. $\displaystyle B\widehat AC = \omega + \theta = B\widehat ZC = B\widehat DT,$ άρα το ZBDN

είναι εγγράψιμο.

: Νίκος Φραγκάκης..png (26.29 KiB) Προβλήθηκε 305 φορές

$\displaystyle N\widehat Zt = A\widehat NZ = C\widehat BZ = C\widehat Zt,$ οπότε τα σημεία C, N, Z

είναι συνευθειακά και από ισοσκελές ACT

έχω,

$\displaystyle {x^2} = C{N^2} + AN \cdot NT = C{N^2} + CN \cdot NZ = CN \cdot CZ = C{E^2}$ και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

#3

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 27, 2025 10:52 am
Χορδή ίση με εφαπτόμενο τμήμα.png
Έστω οξυγώνιο $\vartriangle ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο , στο οποίο $\widehat {BAC_{}^{}} > \widehat {CBA_{}^{}}$ . Στην πλευρά έστω σημείο με $\theta = \widehat {DAC_{}^{}} = \widehat {CBA_{}^{}}$ .

Κύκλος $\Omega$ εφάπτεται, του τμήματος στο , της πλευράς στο και του κύκλου στο .

Να δειχθεί ότι η χορδή ισούται με το εφαπτόμενο τμήμα , . ( Όλες οι λύσεις με ή χωρίς υψηλού επιπέδου εργαλεία , δεκτές)

Αλλιώς.

Επειδή οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά και η

εφάπτεται στον μικρό κύκλο στο

η

θα είναι διχοτόμος

της $A\widehat ZT.$ Αλλά και η

είναι διχοτόμος της $A\widehat ZT,$ αφού AC=CT.

Άρα τα

είναι συνευθειακά.

: Νίκος Φραγκάκης.β.png (30.82 KiB) Προβλήθηκε 239 φορές

$C\widehat ZA=\theta,$ οπότε η

εφάπτεται στον περίκυκλο του AZN

και $\boxed{x^2=CN\cdot CZ=CE^2}$

#4

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 29, 2025 10:34 am

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 27, 2025 10:52 am
Χορδή ίση με εφαπτόμενο τμήμα.png
Έστω οξυγώνιο $\vartriangle ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο , στο οποίο $\widehat {BAC_{}^{}} > \widehat {CBA_{}^{}}$ . Στην πλευρά έστω σημείο με $\theta = \widehat {DAC_{}^{}} = \widehat {CBA_{}^{}}$ .

Κύκλος $\Omega$ εφάπτεται, του τμήματος στο , της πλευράς στο και του κύκλου στο .

Να δειχθεί ότι η χορδή ισούται με το εφαπτόμενο τμήμα , . ( Όλες οι λύσεις με ή χωρίς υψηλού επιπέδου εργαλεία , δεκτές)
Αλλιώς.

Επειδή οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά και η εφάπτεται στον μικρό κύκλο στο η θα είναι διχοτόμος

της $A\widehat ZT.$ Αλλά και η είναι διχοτόμος της $A\widehat ZT,$ αφού Άρα τα είναι συνευθειακά.Νίκος Φραγκάκης.β.png
$C\widehat ZA=\theta,$ οπότε η εφάπτεται στον περίκυκλο του και $\boxed{x^2=CN\cdot CZ=CE^2}$

Αυτή ακριβώς Γιώργο . Υπάρχει και μια ( λύση της πηγής) με το γενικευμένο Θεώρημα του Πτολεμαίου

Χορδή ίση με εφαπτόμενο τμήμα

Χορδή ίση με εφαπτόμενο τμήμα

Re: Χορδή ίση με εφαπτόμενο τμήμα

Re: Χορδή ίση με εφαπτόμενο τμήμα

Re: Χορδή ίση με εφαπτόμενο τμήμα

Μέλη σε σύνδεση