Ισότητα , σχέση , λόγος

KARKAR · #1

: Ισότητα , σχέση , λόγος.png (8.42 KiB) Προβλήθηκε 573 φορές

Τα τμήματα

και

είναι ίσα και κάθετα . Το

είναι το μέσο του

και τα

σημεία του

,

τέτοια ώστε : $AN=\dfrac{AC}{3}$ και : $LC=\dfrac{AC}{4}$ . Η

τέμνει την

στο

και την

στο

.

α) Δείξτε ότι : BT=AB

... β) Ποια η σχέση των τμημάτων SM , CT

; ... γ) Βρείτε τον λόγο : $\dfrac{(BST)}{(STLN)}$ .

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Μάιος 25, 2025 6:08 pm Ισότητα , σχέση , λόγος.pngΤα τμήματα και είναι ίσα και κάθετα . Το είναι το μέσο του και τα σημεία του ,

τέτοια ώστε : $AN=\dfrac{AC}{3}$ και : $LC=\dfrac{AC}{4}$ . Η τέμνει την στο και την στο .

α) Δείξτε ότι : ... β) Ποια η σχέση των τμημάτων ; ... γ) Βρείτε τον λόγο : $\dfrac{(BST)}{(STLN)}$ .

Για ευκολία πράξεων θεωρώ , $AB = AC = 12k\,\,,\,k > 0$ .

α) Το $\vartriangle ABL$ είναι τύπου $\left( {3,4,5} \right)$ γιατί , $AB = 12k = 4 \cdot 3k\,\,\,,\,\,AL = 9k = 3 \cdot 3k$ , άρα $BL = 5 \cdot 3k = 15k\,\,\left( 1 \right)$ .

Ας είναι $BT = y\,\,\,,\,\,TL = x$ .Από το Θ. Μενελάου στο , $\vartriangle ABL$ με διατέμνουσα , $\overline {MTC}$ έχω :

$\dfrac{{AM}}{{MB}} \cdot \dfrac{{BT}}{{TL}} \cdot \dfrac{{LC}}{{CA}} = 1 \Rightarrow 1 \cdot \dfrac{{BT}}{{TL}} \cdot \dfrac{{3k}}{{12k}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{BT}}{{TL}} = 4$

Έχω το απλό σύστημα : $x + y = 15k\,\,,\,\,y = 4x \Rightarrow \boxed{y = 12k = AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,x = 3k = LC}$

: ισότητα σχέση λόγος_1_2 σκέλη.png (12.53 KiB) Προβλήθηκε 556 φορές

β) Πάλι Θ. Μενέλαου στο $\vartriangle AMC$ με διατέμνουσα , $\overline {BTL}$ κι έχω :

$\dfrac{{AB}}{{BM}} \cdot \dfrac{{MT}}{{TC}} \cdot \dfrac{{CL}}{{LA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{12k}}{{6k}} \cdot \dfrac{{MT}}{{TC}} \cdot \dfrac{{3k}}{{9k}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{MT}}{{TC}} = \dfrac{3}{2}$ , άρα $\boxed{\dfrac{{MC}}{{CT}} = \dfrac{5}{2}}$

γ)
Πάλι με Θ. Μενέλαου στο $\vartriangle ANB$ με διατέμνουσα $\overline {MSC}$ προκύπτει : $\dfrac{{SB}}{{SN}} = \dfrac{3}{2}\,\,\,\left( 2 \right)$ .

Φέρνω την διαγώνιο

του τετράπλευρου STNL

και την από το

παράλληλη σ αυτή και τέμνει την

στο

.

Προφανώς το STNL

είναι ισοδύναμο με το $\vartriangle TSJ$ ( Κλασικός τρόπος μετασχηματισμού τετράπλευρου σε ισοδύναμο τρίγωνο)

: ισότητα σχέση λόγος_3 σκέλος.png (19.58 KiB) Προβλήθηκε 556 φορές

Επειδή : $\dfrac{{BN}}{{NJ}} = \dfrac{{BT}}{{TL}} = 4 \Rightarrow \dfrac{{5m}}{{NJ}} = 4 \Rightarrow NJ = \dfrac{{5m}}{4}$ συνεπώς , $SJ = SN + NJ = 2m + \dfrac{{5m}}{4} = \dfrac{{13m}}{4}$ οπότε:

$\boxed{\dfrac{{\left( {BST} \right)}}{{\left( {STNL} \right)}} = \dfrac{{\left( {BST} \right)}}{{\left( {TSJ} \right)}} = \dfrac{{BS}}{{SJ}} = \dfrac{{3m}}{{\dfrac{{13m}}{4}}} = \dfrac{{12}}{{13}}}$ .

Ίσως υπάρχει πιο απλή απάντηση για τα β) και γ) γιατί «είδα» μια διχοτόμο , κάτι ορθές γωνίες, και μια αρμονική τετράδα .

Ισότητα , σχέση , λόγος

Ισότητα , σχέση , λόγος

Re: Ισότητα , σχέση , λόγος

Μέλη σε σύνδεση