Κρίσιμο σημείο

KARKAR · #1

: Κρίσιμο σημείο.png (17.27 KiB) Προβλήθηκε 1616 φορές

Σημείο

κινείται στην πλευρά

του τραπεζίου ABCD

. Δείξτε ότι οι παράλληλες από τις κορυφές B , C

προς τις

, αντίστοιχα τέμνονται σε σημείο

της

.

Αν επιπλέον οι πλευρές CD , DA , AB

, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου , βρείτε την θέση του

για την οποία το τμήμα

είναι παράλληλο προς τις βάσεις AB , DC

του τραπεζίου .

αρψ2400 · #2

Έστω Τ το σημείο τομής της παράλληλης ΒΤ στην DS.Θα δείξουμε ότι CT//AS . DT/TA =ET/TB (1) (DE//AB), αλλά DH/ET=CH/CT=HS/TB (DS//BE).Άρα ET/TB=DH/HS (2).Από (1) και (2) προκύπτει DT/TA =DH/HS και από εδώ CT//AS .
Έστω DC = a , DA = λa , AB = λλa .Εφόσον DS // EB , έχουμε CS/SB = CD/DE ,και αφού CF// AS έχουμε CS/SB =AF/AB .Αλλά DT/TA = ED/AB =CD/AF. Για να έχουμε TS//CD//AB , θα πρέπει DT/TA=CS/SB .Άρα βάζοντας τις τελευταίες ισότητες μαζί DT/TA =CS/SB=ED/AB =CD/DE=AF/AB=ED/AB=CD/AF ή ED/ λλa=a/ED=AF/ λλa=a/AF από όπου προκύπτει ED=AF=AD=λa .Άρα CS/SB =DT/TA= CD /AF =CD /AD=a/λa=1/λ.

αρψ2400 · #3

αρψ2400 έγραψε: Πέμ Ιουν 05, 2025 4:36 pm Έστω Τ το σημείο τομής της παράλληλης ΒΤ στην DS.Θα δείξουμε ότι CT//AS . DT/TA =ET/TB (1) (DE//AB), αλλά DH/ET=CH/CT=HS/TB (DS//BE).Άρα ET/TB=DH/HS (2).Από (1) και (2) προκύπτει DT/TA =DH/HS και από εδώ CT//AS .
Έστω DC = a , DA = λa , AB = λλa .Εφόσον DS // EB , έχουμε CS/SB = CD/DE ,και αφού CF// AS έχουμε CS/SB =AF/AB .Αλλά DT/TA = ED/AB =CD/AF. Για να έχουμε TS//CD//AB , θα πρέπει DT/TA=CS/SB .Άρα βάζοντας τις τελευταίες ισότητες μαζί DT/TA =CS/SB=ED/AB =CD/DE=AF/AB=ED/AB=CD/AF ή ED/ λλa=a/ED=AF/ λλa=a/AF από όπου προκύπτει ED=AF=AD=λa .Άρα CS/SB =DT/TA= CD /AF =CD /AD=a/λa=1/λ.

Έστω

το σημείο τομής της ευθείας που διέρχεται από το

και είναι παράλληλη στην

.
Θα δείξουμε ότι $CT\parallel AS$ .

Από τα ομοίως τρίγωνα λόγω παραλληλίας $DE\parallel AB$ και $DS\parallel BE$ έχουμε:
$\displaystyle \frac{DT}{TA} \;=\;\frac{ET}{TB} \tag{1}$
$\displaystyle \frac{DH}{ET} \;=\;\frac{CH}{CT} \;=\;\frac{HS}{TB} \quad\Longrightarrow\quad \frac{ET}{TB} \;=\;\frac{DH}{HS} \tag{2}$
Από (1) και (2) προκύπτει
$\displaystyle \frac{DT}{TA} \;=\;\frac{DH}{HS} \quad\Longrightarrow\quad CT\parallel AS.$

Τώρα, έστω
$\displaystyle DC = a,\quad DA = \lambda a,\quad AB = \lambda^2 a.$
Εφόσον $DS\parallel EB$ , έχουμε
$\displaystyle \frac{CS}{SB} = \frac{CD}{DE}.$
Επίσης, αφού $CF\parallel AS$ , προκύπτει
$\displaystyle \frac{CS}{SB} = \frac{AF}{AB}.$
Από τα παραπάνω και τη σχέση
$\displaystyle \frac{DT}{TA} = \frac{ED}{AB} = \frac{CD}{AF},$
για να είναι $TS\parallel CD\parallel AB$ χρειάζεται
$\displaystyle \frac{DT}{TA} = \frac{CS}{SB}.$
Άρα θέτουμε τις ισότητες:
$\displaystyle \frac{DT}{TA} = \frac{CS}{SB} = \frac{ED}{AB} = \frac{CD}{DE} = \frac{AF}{AB} = \frac{ED}{AB} = \frac{CD}{AF}.$
Με $AB=\lambda^2 a$ και CD=a

οδηγούμαστε στις εξισώσεις
$\displaystyle \frac{ED}{\lambda^2a} = \frac{a}{ED} = \frac{AF}{\lambda^2a} = \frac{a}{AF},$
από όπου
$\displaystyle ED = AF = AD = \lambda a.$
Συνεπώς
$\displaystyle \frac{CS}{SB} = \frac{DT}{TA} = \frac{CD}{AF} = \frac{a}{\lambda a} = \frac1\lambda.$

Κρίσιμο σημείο

Κρίσιμο σημείο

Re: Κρίσιμο σημείο

Re: Κρίσιμο σημείο

Μέλη σε σύνδεση