Σε απόσταση

KARKAR · #1

: Σε απόσταση.png (17.03 KiB) Προβλήθηκε 506 φορές

Πάνω στην διάμετρο

ενός κύκλου , βρίσκονται σημεία P ,T

, τέτοια ώστε :

AP=4 , PT=5

. Στο βόρειο ημικύκλιο σχεδιάζουμε τμήμα $NP \perp AB$

και στο νότιο , $ST \perp AB$ . Υπολογίστε την απόσταση του

από την

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 10, 2025 6:49 am
Σε απόσταση.pngΠάνω στην διάμετρο ενός κύκλου , βρίσκονται σημεία , τέτοια ώστε :

. Στο βόρειο ημικύκλιο σχεδιάζουμε τμήμα $NP \perp AB$

και στο νότιο , $ST \perp AB$ . Υπολογίστε την απόσταση του από την .

Έστω

η ακτίνα του κύκλου και AA'=x.

Είναι:

: Σε απόσταση.png (14.22 KiB) Προβλήθηκε 495 φορές

$\displaystyle AN \cdot AS = 2Rx$

ΚΑΙ

$\displaystyle \frac{{A{N^2}}}{{A{S^2}}} = \frac{{4 \cdot 2R}}{{9 \cdot 2R}} = \frac{4}{9} \Leftrightarrow \frac{{AN}}{{AS}} = \frac{2}{3}$

$\displaystyle AN \cdot AS = \frac{{AN}}{{AS}} \cdot A{S^2} \Leftrightarrow 2Rx = \frac{2}{3} \cdot 9 \cdot 2R \Leftrightarrow$ $\boxed{x=6}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 10, 2025 6:49 am
Σε απόσταση.pngΠάνω στην διάμετρο ενός κύκλου , βρίσκονται σημεία , τέτοια ώστε :

. Στο βόρειο ημικύκλιο σχεδιάζουμε τμήμα $NP \perp AB$

και στο νότιο , $ST \perp AB$ . Υπολογίστε την απόσταση του από την .

: se apostasi.png (19.87 KiB) Προβλήθηκε 492 φορές

Θέτουμε

(που το ψάχνουμε), PQ=v

οπότε

, και θέτουμε TB=x

. Έπεται

$NP^2= AP\cdot PB=4(5+x)$ και $ST^2=AT\cdot TB=9x$ και NQ^2= NP^2+PQ^2=4(5+x)+v^2

.

Τώρα, από τα όμοια τρίγωνα NPQ,QTS

έχουμε (αφού υψώσουμε στο τετράγωνο) ότι $\dfrac {NP^2}{PQ^2}=\dfrac {ST^2}{QT^2}$ , ισοδύναμα $\dfrac {4(5+x)}{v^2}=\dfrac {9x}{(5-v)^2}$ .

Επίσης, από τα όμοια τρίγωνα AA'Q,QTS

έχουμε (αφού υψώσουμε στο τετράγωνο) ότι $\dfrac {AA'^2}{AQ^2}=\dfrac {ST^2}{SQ^2}$ , ισοδύναμα $\dfrac {p^2}{(4+v)^2}=\dfrac {9x}{(5-v)^2+9x}$ .

Λύνοντας το σύστημα που γράψαμε ως προς p,v

συναρτήσει του

, θα βρούμε $\boxed {p=6}$ (περιέργως και απρόσμενα, ανεξάρτητο του

).

Edit. Mε πρόλαβε ο Γιώργος. Το αφήνω για τον κόπο παρόλο που η λύση του Γιώργου δείχνει με μεγαλύτερη διαφάνεια γιατί το

είναι ανεξάρτητο του

.

Σε απόσταση

Σε απόσταση

Re: Σε απόσταση

Re: Σε απόσταση

Μέλη σε σύνδεση