Όλως τυχαίως

KARKAR · #1

: Όλως τυχαίως.png (25.19 KiB) Προβλήθηκε 312 φορές

Στην πλευρά

και στον περίκυκλο του τριγώνου ABC

, θεωρούμε τυχόντα σημεία P , S

αντίστοιχα .

Στον κύκλο που ορίζουν τα P , C , S

, θεωρούμε τυχόν σημείο

και γράφουμε τον κύκλο ( S , B , T)

,

ο οποίος τέμνει την ευθεία

στο σημείο

. Δείξτε ότι τα σημεία P , T , Q

είναι συνευθειακά .

giannimani · #2

Έστω ότι η ευθεία

τέμνει την ευθεία

στο σημείο

. Αρκεί να αποδείξουμε ότι το τετράπλευρο BQ'TS

είναι εγγράψιμο.
Συμβολίζουμε με

το δεύτερο σημείο τομής της

με τον κύκλο (PCS)

. Από το θεώρημα Reim είναι $PF \parallel AB$ .
Επομένως, $\angle AQ'P=\angle TPF \quad (1)$ (εντός εναλλάξ)
Αλλά $\angle TPF=\angle TSF \quad(2)$ (εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο).
Από (1)

και

έχουμε ότι $\angle AQ'T=\angle BST$ , που δηλώνει ότι το τετράπλευρο BQ'TS

είναι εγγράψιμο.

: same_line.png (42.09 KiB) Προβλήθηκε 289 φορές

#3

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 08, 2025 7:55 pm Όλως τυχαίως.pngΣτην πλευρά και στον περίκυκλο του τριγώνου , θεωρούμε τυχόντα σημεία αντίστοιχα .

Στον κύκλο που ορίζουν τα , θεωρούμε τυχόν σημείο και γράφουμε τον κύκλο ,

ο οποίος τέμνει την ευθεία στο σημείο . Δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .

: Όλως τυχαίως.png (24 KiB) Προβλήθηκε 260 φορές

Από τα εγγεγραμμένα τετράπλευρα SBQT, SCPT, ABSC,

οι γωνίες $a, \beta$ είναι παραπληρωματικές,

όπως επίσης οι $\gamma, \delta$ και οι $a, \delta.$ Άρα και οι $\beta, \gamma$ είναι παραπληρωματικές, που αποδεικνύει το ζητούμενο.

Όλως τυχαίως

Όλως τυχαίως

Re: Όλως τυχαίως

Re: Όλως τυχαίως

Μέλη σε σύνδεση