Άδικη διάμεσος

KARKAR · #1

: Αδικη διάμεσος.png (9.54 KiB) Προβλήθηκε 478 φορές

Στις προεκτάσεις των πλευρών BA , BC

του - πλευράς

- ισοπλεύρου τριγώνου ABC

, θεωρούμε

σημεία D , E

αντίστοιχα , τέτοια ώστε : AD=3 , CE=7

. Αν

το μέσο της

και η

τέμνει την

στο σημείο

, υπολογίστε το τμήμα

.

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Οκτ 27, 2025 6:52 am Αδικη διάμεσος.pngΣτις προεκτάσεις των πλευρών του - πλευράς - ισοπλεύρου τριγώνου , θεωρούμε

σημεία αντίστοιχα , τέτοια ώστε : . Αν το μέσο της και η

τέμνει την στο σημείο , υπολογίστε το τμήμα .

.
Με Αναλυτική είναι άμεσο: Με αρχή των αξόνων το B(0,0)

εύκολα βλέπουμε ότι $E(12,0), \, D(4,4\sqrt 3)$ . Έπεται ότι το μέσον

είναι το $Μ(8,2\sqrt 3)$ και η ευθεία

είναι η $y=\dfrac {\sqrt 3}{4}x$ . Επίσης, η

που σχηματίζει γωνία 120 ^o

με τον άξονα των

είναι η $y=-\sqrt 3(x-5)$ .

Άρα το

, που είναι στην τομή των δύο ευθειών που βρήκαμε, είναι το $S(4,\sqrt 3})$ . Αλλά $A\left ( \dfrac {5}{2} , \dfrac {5\sqrt 3}{2}\right )$ οπότε αμέσως $\boxed {SA= \sqrt {\left (4- \dfrac {5}{2}\right ) ^2+\left ( \sqrt 3- \dfrac {5\sqrt 3}{2}\right )^2 }=3}$

Bonus: Βγαίνει δώρο ότι α) το

είναι ύψος του μεγάλου τριγώνου και β) το

είναι το μέσον του

Ιστοσελίδα · #3

KARKAR έγραψε: Δευ Οκτ 27, 2025 6:52 am Στις προεκτάσεις των πλευρών του - πλευράς - ισοπλεύρου τριγώνου , θεωρούμε

σημεία αντίστοιχα , τέτοια ώστε : . Αν το μέσο της και η

τέμνει την στο σημείο , υπολογίστε το τμήμα .

: Screenshot_1.png (37.84 KiB) Προβλήθηκε 444 φορές

Θέτω $T \equiv BM \cap CD$ και φέρω $CN \bot AB$ και $AZ\parallel BM$ .

Από διπλό Πυθαγόρειο: CD = 7

και από Μενέλαο στο $\triangleleft CDE$ με διατέμνουσα BTM

παίρνουμε $DT = \dfrac{{84}}{{17}}\, \wedge \,CT = \dfrac{{35}}{{17}}\,$ .

Από 2 θεωρήματα Θαλή προκύπτει ότι x = 3

.

#4

KARKAR έγραψε: Δευ Οκτ 27, 2025 6:52 am Αδικη διάμεσος.pngΣτις προεκτάσεις των πλευρών του - πλευράς - ισοπλεύρου τριγώνου , θεωρούμε

σημεία αντίστοιχα , τέτοια ώστε : . Αν το μέσο της και η

τέμνει την στο σημείο , υπολογίστε το τμήμα .

Η

τέμνει την

στο

Με θεώρημα Μενελάου στα τρίγωνα BDF, EDF

και αντίστοιχες διατέμνουσες

$\displaystyle \overline {ASC} ,\overline {BSM}$ βρίσκω $\displaystyle \frac{{12}}{{BF}} = \frac{{DS}}{{FS}} = \frac{3}{{CF}} \Rightarrow BF = 4CF \Rightarrow CF = 1,BF = 4$

: Άδικη διάμεσος.png (14.23 KiB) Προβλήθηκε 444 φορές

Με νόμο συνημιτόνου στο DBF,

$\displaystyle D{F^2} = 64 + 16 - 4 \cdot 8 = 48 = B{D^2} - B{F^2},$

άρα $\displaystyle B\widehat FD = 90^\circ ,B\widehat DF = 30^\circ \Rightarrow$ $\boxed{AS=AD=3}$

Ιστοσελίδα · #5

KARKAR έγραψε: Δευ Οκτ 27, 2025 6:52 am Στις προεκτάσεις των πλευρών του - πλευράς - ισοπλεύρου τριγώνου , θεωρούμε

σημεία αντίστοιχα , τέτοια ώστε : . Αν το μέσο της και η

τέμνει την στο σημείο , υπολογίστε το τμήμα .

: 2025-10-27_13-19-03.jpg (39.91 KiB) Προβλήθηκε 427 φορές

STOPJOHN · #6

KARKAR έγραψε: Δευ Οκτ 27, 2025 6:52 am Αδικη διάμεσος.pngΣτις προεκτάσεις των πλευρών του - πλευράς - ισοπλεύρου τριγώνου , θεωρούμε

σημεία αντίστοιχα , τέτοια ώστε : . Αν το μέσο της και η

τέμνει την στο σημείο , υπολογίστε το τμήμα .

Έστω ότι

$MP//DT,TP=PE=2,LT//SC\Rightarrow \dfrac{LT}{SC}= \dfrac{BT}{BC}\Rightarrow LT=\dfrac{8(5-x)}{5},MP=\dfrac{DT}{2}=4, LT//MP\Rightarrow \dfrac{8(5-x)}{5.4}=\dfrac{8}{10} \Rightarrow x=3$

#7

KARKAR έγραψε: Δευ Οκτ 27, 2025 6:52 am Αδικη διάμεσος.pngΣτις προεκτάσεις των πλευρών του - πλευράς - ισοπλεύρου τριγώνου , θεωρούμε

σημεία αντίστοιχα , τέτοια ώστε : . Αν το μέσο της και η

τέμνει την στο σημείο , υπολογίστε το τμήμα .

Η από το

παράλληλη στην

τέμνει την

στο

και την

στο

. Προφανές ότι , $CT = 3\,,\,\,\,TE = 4$ .

Από το Θ. Μενελάου στο $\vartriangle DTE$ με διατέμνουσα την $\overline {BKM}$ έχω : $\dfrac{{DK}}{{KT}} \cdot \dfrac{{TB}}{{BE}} \cdot \dfrac{{EM}}{{MD}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{DK}}{{KT}} \cdot \dfrac{8}{{12}} \cdot \dfrac{1}{1} = 1$ και άρα:

: άδικη διάμεσος.png (20.45 KiB) Προβλήθηκε 367 φορές

$\dfrac{{DK}}{{KT}} = \dfrac{3}{2}$ , οπότε λόγω κεντρικής δέσμης , $\dfrac{x}{y} = \dfrac{3}{2}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,x + y = 5$ προκύπτει : $\boxed{x = 3\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y = 2}$ .

Παρατηρήσεις : Με εμβαδά ή αλλιώς ,

1. $MT \bot BE$

2. DC = 7

.

Άδικη διάμεσος

Άδικη διάμεσος

Re: Άδικη διάμεσος

Re: Άδικη διάμεσος

Re: Άδικη διάμεσος

Re: Άδικη διάμεσος

Re: Άδικη διάμεσος

Re: Άδικη διάμεσος

Μέλη σε σύνδεση