Μακρινό σημείο

KARKAR · #1

: Μακρινό σημείο.png (19.06 KiB) Προβλήθηκε 418 φορές

Στο τρίγωνο ABC

, με :

, ο κύκλος που ορίζεται από την κορυφή

,

το μέσο

της

και το ίχνος της διχοτόμου

, τέμνει τις πλευρές AB , AC

στα

, αντίστοιχα .

Αν οι προεκτάσεις των PT , BC

τέμνονται στο

, υπολογίστε το τμήμα

.

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Νοέμ 11, 2025 7:40 pm Μακρινό σημείο.pngΣτο τρίγωνο , με : , ο κύκλος που ορίζεται από την κορυφή ,

το μέσο της και το ίχνος της διχοτόμου , τέμνει τις πλευρές στα , αντίστοιχα .

Αν οι προεκτάσεις των τέμνονται στο , υπολογίστε το τμήμα .

Θ. Διχοτόμου στο $\vartriangle ABC$ και προκύπτουν , $DB = 16\,\,,\,\,DC = 24\, \Rightarrow DM = 4$ .

Δύναμη των B,C

ως προς τον κύκλο $\left( {A,D,M} \right)$ και προκύπτουν PB = TC = 10

.

Θ Μενελάου στο $\vartriangle ABC$ με διατέμνουσα , $\overline {PTS}$ και προκύπτει:
.

: Μακρινό σημείο.png (32.39 KiB) Προβλήθηκε 372 φορές

.
$\dfrac{{AP}}{{PB}} \cdot \dfrac{{BS}}{{SC}} \cdot \dfrac{{CT}}{{TA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{22}}{{10}} \cdot \dfrac{{x + 40}}{x} \cdot \dfrac{{10}}{{38}} = 1 \Rightarrow \boxed{x = 55}$

Dimessi · #3

: Επί της παραλλήλου εγγραψιμότητες .png (123.71 KiB) Προβλήθηκε 367 φορές

$\bullet$ Έστω $l\parallel AC \left ( P\in l \right ),Q\equiv l\cap \left ( BPS \right )\left ( Q\neq P \right ),Z\equiv PQ\cap BC,Y\equiv AC\cap QS.$
$\displaystyle \angle BSQ\overset{BPSQ \epsilon \gamma \gamma \varrho \alpha \psi \iota \mu o}=\angle BPQ\overset{PQ \parallel AC}=\angle BAC\overset{\angle SQB=\angle APT}\Rightarrow \vartriangle SQB \sim \vartriangle APT.$
$\angle SYA \overset{PQ\parallel AY}=\angle SQP\overset{BPSQ\epsilon \gamma \gamma \varrho \alpha \psi \iota \mu o}=\angle SBP\equiv \angle SBA\Rightarrow A,B,Y,So\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha \Rightarrow$ $\displaystyle AC\cdot CY=BC\cdot CS\left ( \ast \right ).$
$\displaystyle PQ \parallel TY\overset{\Theta .K.\Delta \epsilon \sigma \mu \eta \varsigma }\Rightarrow \frac{PZ}{ZQ}=\frac{TC}{CY}\overset{\left ( \ast \right )}=\frac{TC\cdot AC}{BC\cdot CS}\left ( \ast \ast \right ).$
$\displaystyle PZ\cdot ZQ\overset{BPSQ\epsilon \gamma \gamma \varrho \alpha \psi \iota \mu o}=BZ\cdot ZS\overset{\left ( \ast \ast \right )}\Rightarrow \boxed{PZ^{2}=\frac{TC\cdot AC\cdot BZ\cdot ZS}{BC\cdot CS}}\left ( 1 \right )$
$\displaystyle \left.\begin{matrix} BP\cdot BA=BD\cdot BM & \\CT\cdot CA=CD\cdot CM & \\ \end{matrix}\right\}\Rightarrow \frac{BP}{CT}=\frac{DB}{DC}\cdot \frac{AC}{AB}\overset{\Theta .\delta \iota \chi o\tau o\mu o\upsilon \vartriangle ABC}=1 \Rightarrow BP=CT.$
$\displaystyle \left ( 1 \right )\overset{BP=CT}\Rightarrow \boxed{\frac{PZ}{PB}\cdot \frac{PZ\cdot BC}{AC\cdot BZ}=\frac{ZS}{CS}}(2)$
$\displaystyle \left.\begin{matrix} \displaystyle \frac{PZ}{PB}\overset{PZ\parallel AC}=\frac{AC}{AB} & \\\displaystyle\frac{PZ}{BZ}\overset{PZ \parallel AC}=\frac{AC}{BC} & \\ \end{matrix}\right\}\overset{\left ( 2 \right )}\Rightarrow \frac{ZS}{CS}=\frac{AC}{AB}\Rightarrow \frac{CS}{ZC}=\frac{c}{b-c}\left ( 3 \right ).$
$\displaystyle \frac{ZC}{BC}\overset{PZ \parallel AC}=\frac{AP}{AB}\Rightarrow ZC=\frac{a\cdot \left ( c-\frac{BD\cdot BM}{c} \right )}{c}=\frac{a\cdot \left ( c^{2}-\frac{ac}{b+c}\cdot \frac{a}{2} \right )}{c^{2}}\left ( \ast \ast \ast \right ).$
$\displaystyle \boxed{\left ( 3 \right )\overset{\left ( \ast \ast \ast \right )}\Rightarrow CS=\frac{a\cdot \left ( c^{2}-\frac{a^{2}c}{2\left ( b+c \right )} \right )}{c\left ( b-c \right )}=\frac{a\left (2c^{2}\left ( b+c \right )-a^{2}c \right )}{2c\left ( b-c \right )\left ( b+c \right )}}$

: Επί της παραλλήλου εγγραψιμότητες .png (123.71 KiB) Προβλήθηκε 367 φορές

Μακρινό σημείο

Μακρινό σημείο

Re: Μακρινό σημείο

Re: Μακρινό σημείο

Μέλη σε σύνδεση