Προκαθορισμένο εμβαδόν

KARKAR · #1

: Προκαθορισμένο εμβαδόν.png (24.87 KiB) Προβλήθηκε 146 φορές

Οι κύκλοι (O ,3)

και

εφάπτονται εξωτερικά στο

. Εντοπίστε σημεία B,C

, των δύο

κύκλων , τέτοια ώστε το τρίγωνο ABC

να είναι ορθογώνιο στο

και να έχει εμβαδόν $3\sqrt{3}$ .

Ιστοσελίδα · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 29, 2025 8:26 pm
Οι κύκλοι και εφάπτονται εξωτερικά στο . Εντοπίστε σημεία , των δύο

κύκλων , τέτοια ώστε το τρίγωνο να είναι ορθογώνιο στο και να έχει εμβαδόν $3\sqrt{3}$ .

: shape.png (26.07 KiB) Προβλήθηκε 138 φορές

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 29, 2025 8:26 pm
Προκαθορισμένο εμβαδόν.pngΟι κύκλοι και εφάπτονται εξωτερικά στο . Εντοπίστε σημεία , των δύο

κύκλων , τέτοια ώστε το τρίγωνο να είναι ορθογώνιο στο και να έχει εμβαδόν $3\sqrt{3}$ .

.

: Προκαθ.png (30.68 KiB) Προβλήθηκε 134 φορές

.
Εξ υποθέσεως είναι $\dfrac {1}{2} ab = 3\sqrt 3$ . Επίσης αν $\widehat {BOA}= \theta$ , τότε εύκολα λόγω της $\widehat {BAC}= 90$ έχουμε $\widehat {COA}= 180 -\theta$ . Eίναι τότε για την χορδή

$a= AB= 2R \sin \dfrac {\theta}{2} = 6 \sin \dfrac {\theta}{2}$ και όμοια $b= AC= 4 \sin \dfrac {180- \theta}{2} = 4 \cos \dfrac {\theta}{2}$ .

Άρα $6 \sqrt 3 = ab = \left (6 \sin \dfrac {\theta}{2}\right ) \left (4 \cos \dfrac {\theta}{2} \right )= 12 \sin \theta$ . Οπότε $\sin \theta = \dfrac {\sqrt 3}{2}$ , και άρα

$\boxed {\theta = 60^o }$ ή $\boxed {\theta = 120^o }$ (δεκτές).

Edit. Με πρόλαβε ο συνωνόματος, όσο έγραφα. Το αφήνω για τον κόπο αν και οι λύσεις είναι στο ίδιο μήκος κύματος.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 29, 2025 8:26 pm
Προκαθορισμένο εμβαδόν.pngΟι κύκλοι και εφάπτονται εξωτερικά στο . Εντοπίστε σημεία , των δύο

κύκλων , τέτοια ώστε το τρίγωνο να είναι ορθογώνιο στο και να έχει εμβαδόν $3\sqrt{3}$ .

$AB//CL\Rightarrow 2(ABC)=2(BAL) \Rightarrow 6\sqrt{3}= 4.h \Rightarrow h= \dfrac{3 \sqrt{3} }{2} \Rightarrow ON= \dfrac{3}{2} \Rightarrow \angle BOA=60^0$

Φτιάχνουμε ισόπλευρο τρίγωνο OBA

και η κάθετη στην

στο

τέμνει τον κύκλο (K)

στο

: Προκαθορισμένο εμβαδόν.png (18.62 KiB) Προβλήθηκε 110 φορές

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 29, 2025 8:26 pm
Προκαθορισμένο εμβαδόν.pngΟι κύκλοι και εφάπτονται εξωτερικά στο . Εντοπίστε σημεία , των δύο

κύκλων , τέτοια ώστε το τρίγωνο να είναι ορθογώνιο στο και να έχει εμβαδόν $3\sqrt{3}$ .

είναι οι προβολές των B, C

στη διάκεντρο. Θέτω BD=x, AE=y

και

είναι $AB=\sqrt{6x}, AC=\sqrt{4y}, AD=\sqrt{x(6-x)}, CE=\sqrt{y(4-y)}.$

: Προκαθορισμένο εμβαδόν.Κ.png (18.27 KiB) Προβλήθηκε 88 φορές

$\displaystyle (ABC) = 3\sqrt 3 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {24xy} }}{2} = 3\sqrt 3 \Leftrightarrow$ $\boxed{xy=\frac{9}{2}}$ (1)

Από την ομοιότητα τω τριγώνων ABD, ACE

είναι $\displaystyle \frac{x}{{\sqrt {y(4 - y)} }} = \frac{{\sqrt {x(6 - x)} }}{y},$

απ' όπου παίρνω $\displaystyle 2x + 3y = 12\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{x=\frac{3}{2}, y=3}$ ή $\boxed{x=\frac{9}{2}, y=1}$

STOPJOHN · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 29, 2025 8:26 pm
Προκαθορισμένο εμβαδόν.pngΟι κύκλοι και εφάπτονται εξωτερικά στο . Εντοπίστε σημεία , των δύο

κύκλων , τέτοια ώστε το τρίγωνο να είναι ορθογώνιο στο και να έχει εμβαδόν $3\sqrt{3}$ .

To τετράπλευρο ABIC

είναι ορθογώνιο με

$AB=y,AC=x,AB.AC=6\sqrt{3}$

$AC//LI\Rightarrow \dfrac{AC}{LI}=\dfrac{NA}{NL} \Rightarrow \dfrac{x}{x+\sqrt{9-y^{2}}}=\dfrac{4}{10}, x.y=6\sqrt{3} \Rightarrow x=2\sqrt{3},x=2, y=3,y=3\sqrt{3}$

Προκαθορισμένο εμβαδόν

Προκαθορισμένο εμβαδόν

Re: Προκαθορισμένο εμβαδόν

Re: Προκαθορισμένο εμβαδόν

Re: Προκαθορισμένο εμβαδόν

Re: Προκαθορισμένο εμβαδόν

Re: Προκαθορισμένο εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση