Δεν μεγαλώνει άλλο

KARKAR · #1

: Δεν μεγαλώνει άλλο.png (11.14 KiB) Προβλήθηκε 140 φορές

Το ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, έχει σταθερή υποτείνουσα

και μεταβλητές τις κάθετες πλευρές .

Στην προέκταση της

, θεωρούμε σημείο

, τέτοιο ώστε : CS=AB

. Βρείτε το $BS_{max}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 30, 2025 8:01 am
Το ορθογώνιο τρίγωνο , έχει σταθερή υποτείνουσα και μεταβλητές τις κάθετες πλευρές .

Στην προέκταση της , θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε : . Βρείτε το $BS_{max}$ .

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ABS

έχουμε

$x^2= AB^2+AS^2=c^2+(b+c)^2= 2c^2+b^2+2bc= 2c^2+(a^2-c^2) + 2c\sqrt {a^2-c^2} =$

$= a^2+c^2 + 2c\sqrt {a^2-c^2}$

Το βλέπουμε ως συνάρτηση του

, με σύνολό τιμών της μεταβλητής το 0<c<a

(το

είναι σταθερό). Η παραπάνω έχει παράγωγο (ως προς

) την

$\dfrac {2(-2c^2+1+c\sqrt {a^2-c^2})}{\sqrt{a^2-c^2}}$ .

Ο αριθμητής μηδενίζεται όταν $c= \dfrac {\sqrt { 50 + 10 \sqrt {5} } }{10} a$ (άμεσο), από όπου με αντικατάσταση η μέγιστη τιμή του

(το αφήνω ως ανιαρές πράξεις ρουτίνας).

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 30, 2025 8:01 am
Δεν μεγαλώνει άλλο.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο , έχει σταθερή υποτείνουσα και μεταβλητές τις κάθετες πλευρές .

Στην προέκταση της , θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε : . Βρείτε το $BS_{max}$ .

Καλησπέρα σε όλους. Θέλω να μοιραστώ με τους γεωμέτρες μας μια εικασία: Το μέγιστο εμφανίζεται όταν τα τρίγωνα ABC, ABS

είναι όμοια.

Αν προλάβω, θα το διερευνήσω απόψε. Αν όχι, θα χαρώ να δω την επαλήθευση της εικασίας.

#4

Δίνω μια προσέγγιση με τριγωνομετρία και παραγώγους. Επειδή εμπλέκεται η χρυσή τομή (χαιρετισμούς στον φίλο Γιώργο Μήτσιο) πιστεύω ότι θα βρεθεί και γεωμετρική προσέγγιση.

: 30-11-2025 Γεωμετρία.png (10.25 KiB) Προβλήθηκε 80 φορές

$\displaystyle B{S^2} = {c^2} + {\left( {b + c} \right)^2} = {a^2} + {c^2} + 2bc = {a^2} + {a^2}\eta {\mu ^2}C + 2{a^2}\eta \mu C \cdot \eta \mu B$

$\displaystyle = {a^2}\left( {1 + \eta {\mu ^2}C + 2\eta \mu C \cdot \sigma \upsilon \nu C} \right) = {a^2}\left( {1 + \eta {\mu ^2}C + \eta \mu 2C} \right)$

Αναζητάμε το μέγιστο της παράστασης $\displaystyle \eta {\mu ^2}C + \eta \mu 2C,\;\;C \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right]$ (Παρακάτω θα γίνει κατανοητό γιατί πήραμε και τα άκρα του διαστήματος).

Έχει παράγωγο $\displaystyle \eta \mu 2C + 2\sigma \upsilon \nu 2C$

$\displaystyle \eta \mu 2C + 2\sigma \upsilon \nu 2C = 0 \Leftrightarrow \varepsilon \varphi 2C = - 2 \Leftrightarrow \frac{{2\varepsilon \varphi C}}{{1 - \varepsilon {\varphi ^2}C}} = - 2 \Leftrightarrow \varepsilon \varphi C = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2} = \varphi$

Εκεί παρουσιάζει μέγιστο, αφού με μελέτη προσήμου έχουμε:

Για $\displaystyle C = 0,\;\;2\eta \mu 0 + \sigma \upsilon \nu 0 = 1 > 0$ και για $\displaystyle C = \frac{\pi }{2},\;2\eta \mu \pi + \sigma \upsilon \nu \pi = - 1$ .

Τότε $\displaystyle \frac{c}{b} = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2} \Rightarrow \frac{b}{c} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2} \Rightarrow \frac{c}{b} = \frac{b}{c} + 1 \Leftrightarrow \frac{c}{b} = \frac{{b + c}}{c}$ , που σημαίνει ότι τα τρίγωνα ABC, ABS

είναι όμοια.

KARKAR · #5

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 30, 2025 9:43 pm
Επειδή εμπλέκεται η χρυσή τομή πιστεύω ότι θα βρεθεί και γεωμετρική προσέγγιση.

: φ.png (18.98 KiB) Προβλήθηκε 50 φορές

Εύκολα βλέπουμε ότι ο γεωμετρικός τόπος του

είναι το μοβ ημικύκλιο . Προφανώς το μέγιστο του

επιτυγχάνεται στην θέση BS'

και ισούται με $\phi a$ . Είναι ανεστραμμένη η γνωστή κατασκευή του $\phi$ !

Δεν μεγαλώνει άλλο

Δεν μεγαλώνει άλλο

Re: Δεν μεγαλώνει άλλο

Re: Δεν μεγαλώνει άλλο

Re: Δεν μεγαλώνει άλλο

Re: Δεν μεγαλώνει άλλο

Μέλη σε σύνδεση