Ενδιαφέροντα τμήματα

KARKAR · #1

: Ενδιαφέροντα τμήματα.png (24.38 KiB) Προβλήθηκε 218 φορές

Στην προέκταση της διαμέτρου

κύκλου

, θεωρούμε σταθερό σημείο

. Η χορδή

κινείται παραμένοντας κάθετη προς την

. Η

τέμνει τον κύκλο στο σημείο

.

α) Δείξτε ότι η

διέρχεται από σταθερό σημείο

της

.

β) Αν : r=3 , OS=7 , OM=1

και

το αντιδιαμετρικό του

, υπολογίστε το C'P

.

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Δεκ 01, 2025 6:20 pm Ενδιαφέροντα τμήματα.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου κύκλου , θεωρούμε σταθερό σημείο . Η χορδή κινείται παραμένοντας κάθετη προς την . Η τέμνει τον κύκλο στο σημείο .
α) Δείξτε ότι η διέρχεται από σταθερό σημείο της .
β) Αν : και το αντιδιαμετρικό του , υπολογίστε το .

α) Με

μεσοκάθετη της χορδής

του κύκλου προκύπτει ότι η

είναι άξονας συμμετρίας του σχήματος και συνεπώς $\tau o\xi BQ=\tau o\xi BP\Rightarrow \angle BCS\equiv \angle BCQ=\angle BCP\equiv \angle BCT$ , με $Q\equiv CS\cap \left( O \right),Q\ne C$ (εγγεγραμμένες σε ίσα τόξα του ίδιου κύκλου) , οπότε

είναι η εσωτερική διχοτόμος της γωνίας $\angle TCS$ του τριγώνου $\vartriangle TCS$ και με $CA\bot CB$ (εξαιτίας της διαμέτρου ) προκύπτει ότι η

είναι η εξωτερική διχοτόμος της εν λόγω γωνίας του εν λόγω τριγώνου, άρα η σειρά $\left( A,T,B,S \right)$ είναι αρμονική και με A,B,S

σταθερά προκύπτει ότι και

σταθερό και το α) ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

: Ενδιαφέροντα τμήματα..png (34.42 KiB) Προβλήθηκε 189 φορές

β) Από τα δεδομένα του προβλήματος είναι AM=OA-OM=3-1=2,MB=AB-AM=6-2=4,

Από την αρμονική τετράδα έχουμε: $\dfrac{TB}{BS}=\dfrac{TA}{AS}\Rightarrow \dfrac{TB}{4}=\dfrac{6-TB}{10}\Rightarrow TB=\dfrac{12}{7}$ οπότε $TA=AB-TB=6-\dfrac{12}{7}=\dfrac{30}{7}$

Είναι από το ύψος προς την υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου $\vartriangle ABC$ $C{{M}^{2}}=AM\cdot MB=2\cdot 4=8$ και από Π.Θ στο ορθογώνιο τρίγωνο $\vartriangle CMS\Rightarrow C{{S}^{2}}=C{{M}^{2}}+M{{S}^{2}}=8+64=72\Rightarrow CS=6\sqrt{2}$

Από το Θεώρημα της διχοτόμου έχουμε $\dfrac{CT}{CS}=\dfrac{BT}{BS}=\dfrac{\dfrac{12}{7}}{4}\overset{CS=6\sqrt{2}}{\mathop{\Rightarrow }}\,CT=\dfrac{18\sqrt{2}}{7}$

Από δύναμη σημείο έχουμε: $TP\cdot TC=TA\cdot TB=\dfrac{30}{7}\cdot \dfrac{12}{7}\Rightarrow$ $TP=\dfrac{\dfrac{30}{7}\cdot \dfrac{12}{7}}{\dfrac{18\sqrt{2}}{7}}=\ldots \dfrac{10\sqrt{2}}{7}\Rightarrow CP=CT+TP=\ldots 4\sqrt{2}$
και τέλος από Π.Θ στο ορθογώνιο (λόγω της διαμέτρου) τρίγωνο $\vartriangle CP{C}'\Rightarrow {C}'P=\sqrt{C{{{{C}'}}^{2}}-P{{{{C}'}}^{2}}}=\sqrt{36-32}=2$

#3

KARKAR έγραψε: Δευ Δεκ 01, 2025 6:20 pm Ενδιαφέροντα τμήματα.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου κύκλου , θεωρούμε σταθερό σημείο . Η χορδή

κινείται παραμένοντας κάθετη προς την . Η τέμνει τον κύκλο στο σημείο .

α) Δείξτε ότι η διέρχεται από σταθερό σημείο της .

β) Αν : και το αντιδιαμετρικό του , υπολογίστε το .

Χαιρετίζω την επανεμφάνιση του Στάθης του Κούτρα

α)Από την προφανή ισότητα των $\vartriangle ODP\,\,,\,\,\vartriangle OQC$ οι , $\widehat {OPD}\,\,,\,\,\widehat {OCQ}$ είναι ίσες άρα το τετράπλευρο OPSC

είναι εγγράψιμο .

: Ενδιαφέροντα τμήματα_a.png (33.51 KiB) Προβλήθηκε 159 φορές

Από τη δύναμη του

ως προς τους δύο κύκλους έχω : $CT \cdot TP = x\left( {r - x + d} \right) = \left( {r + x} \right)\left( {r - x} \right) \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{{r^2}}}{{d + r}}}$ .

β)

Σύμφωνα με το α) έχω : $x = \dfrac{9}{7}$ . Από το Π. Θ. στο $\vartriangle MOC$ , $MC = 2\sqrt 2$ και μετά από το Π. Θ. στο $\vartriangle MTC$ προκύπτει : $CT = \dfrac{{18\sqrt 2 }}{7}$ .

Επειδή , $CT \cdot TP = TB \cdot TA$ προκύπτει, $CT \cdot TP = TB \cdot TA$ = $\dfrac{{360}}{{49}}$ , άρα $PT = \dfrac{{10\sqrt 2 }}{7}$ , κι έτσι:

$CP = CT + TP = \dfrac{{18\sqrt 2 }}{7} + \dfrac{{10\sqrt 2 }}{7} = 4\sqrt 2$ .

: Ενδιαφέροντα τμήματα_b.png (31.16 KiB) Προβλήθηκε 159 φορές

Με Π. Θ. στο , $\vartriangle PCC'$ έχω : $\boxed{PC' = \sqrt {36 - 32} = 2}$ .

Ενδιαφέροντα τμήματα

Ενδιαφέροντα τμήματα

Re: Ενδιαφέροντα τμήματα

Re: Ενδιαφέροντα τμήματα

Μέλη σε σύνδεση