Καταπληκτικό τρίγωνο

KARKAR · #1

: Καταπληκτικό τρίγωνο.png (8 KiB) Προβλήθηκε 244 φορές

Η κορυφή

του τριγώνου OAB

είναι η αρχή των αξόνων , ενώ οι A , B

, είναι σημεία των ευθειών :

x=0

και : $y=-\dfrac{3}{4}x$ , αντίστοιχα . Αν το τρίγωνο έχει περίμετρο L=22

και εμβαδόν E=22

,

υπολογίστε τις πλευρές του

και

.

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Δεκ 14, 2025 8:08 pm Η κορυφή του τριγώνου είναι η αρχή των αξόνων , ενώ οι , είναι σημεία των ευθειών :

και : $y=-\dfrac{3}{4}x$ , αντίστοιχα . Αν το τρίγωνο έχει περίμετρο και εμβαδόν ,

υπολογίστε τις πλευρές του και .

.

: Καταπλ.png (17.49 KiB) Προβλήθηκε 203 φορές

.
Εστω $A(0,-a), B \left (b,-\dfrac {3}{4}b\right )$ . Τότε το εμβαδόν είναι $\dfrac {1}{2} OA\cdot BC=22$ , ισοδύναμα $\dfrac {1}{2} ab=22$ , δηλαδή $\boxed {ab=44}$ .

Για την περίμετρο έχουμε OA+OB+AB=22

, δηλαδή $a+ \dfrac {5}{4}b+\sqrt { \left (-\dfrac {3}{4}b+ a \right )^2+b^2}=22$ , η οποία με τις αναγωγές γίνεται

44a+55b=484+4ab

που με χρήση της ab=44

γίνεται $\boxed {4a+5b=60}$ . Λύνοντας το σύστημα των δύο θα βρούμε

$a=\dfrac {15-\sqrt 5}{2}, \, b=\dfrac {30+2\sqrt 5}{5}$ ή $a=\dfrac {15+\sqrt 5}{2}, \, b=\dfrac {30-2\sqrt 5}{5}$ .

Για την πρώτη έχουμε $OA=a= \dfrac {15-\sqrt 5}{2}, \, OB= \dfrac {5}{4}b= \dfrac {15+\sqrt 5}{2}$ και άρα AB=22-OA-OB= 7

.

Όμοια η δεύτερη περίπτωση, όπου δίνει $OA=\dfrac {15+\sqrt 5}{2}, \, OB= \dfrac {15-\sqrt 5}{2}$ και AB= 7

.

KARKAR · #3

Για την περίπτωση του σχήματος :

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Δεκ 15, 2025 12:35 am
$OB= \dfrac {15+\sqrt 5}{2}$ και : .

Για περισσότερο εντυπωσιασμό ( και δικαιολόγηση του τίτλου ) : $OB= \dfrac {15+\sqrt 5}{2}=7+\phi$

#4

KARKAR έγραψε: Δευ Δεκ 15, 2025 8:12 am Για την περίπτωση του σχήματος :
Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Δεκ 15, 2025 12:35 am
$OB= \dfrac {15+\sqrt 5}{2}$ και : .
Για περισσότερο εντυπωσιασμό ( και δικαιολόγηση του τίτλου ) : $OB= \dfrac {15+\sqrt 5}{2}=7+\phi$

.
Θανάση, ενδιαφέρον μεν και χαριτωμένο, αλλά με αυτή την λογική οτιδήποτε έχει $\sqrt 5$ μεταφράζεται συναρτήσει του $\phi$ . Αν δεν είναι $7 +\phi$ μπορεί να είναι $\dfrac {3}{8} \phi + 144$ ή $\phi + \sqrt 2$ ή $43-\phi$ ή μύρια όσα. Και λοιπόν; Έτσι στην ουσία περνάμε τα όρια των Μαθηματικών και μπαίνουμε στην Αριθμολογία.

Δεν μπορώ παρά να παραθέσω είναι χωρίο από την Απολογία ενός Μαθηματικού του Hardy, που μετά από κάποιες ανάλογες Αριθμολογικές ισότητες γράφει (σελίς 77 της Ελληνικής έκδοσης):

Αυτά είναι παράξενα δεδομένα καταληλώτατα για στήλες με σπαζοκεφαλιές και πιθανόν διασκεδαστικά στους ερασιτέχνες αλλά δεν υπάρχει τίποτα σε αυτά ώστε να ελκύουν πολύ κάποιον μαθηματικό.... Τα θεωρήματα δεν είναι σοβαρά και είναι φανερό ότι ένας λόγος είναι η ακραία εξειδίκευση τόσο των διατυπώσεων όσο και τον αποδείξεων, που δεν επιδέχονται καμία σημαντική γενίκευση.

Καταπληκτικό τρίγωνο

Καταπληκτικό τρίγωνο

Re: Καταπληκτικό τρίγωνο

Re: Καταπληκτικό τρίγωνο

Re: Καταπληκτικό τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση