Η ρότα

KARKAR · #1

: Η ρότα.png (17.47 KiB) Προβλήθηκε 159 φορές

Στην σταθερή ακτίνα

του κύκλου (O , 7)

, θεωρούμε σημείο

, τέτοιο ώστε : OP=5

.

Στην μεταβλητή ακτίνα

του ίδιου κύκλου , θεωρούμε σημείο

, τέτοιο ώστε : OT=4

.

Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής

, των τμημάτων AT , BP

.

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιαν 10, 2026 8:07 am Η ρότα.pngΣτην σταθερή ακτίνα του κύκλου , θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε : .

Στην μεταβλητή ακτίνα του ίδιου κύκλου , θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε : .

Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής , των τμημάτων .

: ρότα.png (24.1 KiB) Προβλήθηκε 144 φορές

Από Μενέλαο στο OPB

με διατέμνουσα την

έχουμε, με PS=a, SB=b

, ότι $\dfrac {7}{2} \cdot \dfrac {a}{b} \cdot \dfrac {3}{4} =1$ . Άρα $\dfrac {a}{b} = \dfrac {8}{21}$

Φέρνουμε τώρα την παράλληλη SK||OB

. Είναι

$\dfrac {OK}{PO} = \dfrac {BS}{PB} = \dfrac {b}{a+b}$ άρα $OK = \dfrac {21}{29} \cdot PO= \dfrac {21}{29} \cdot 5 = \dfrac {105}{29}$ .

Επίσης $\dfrac {KS}{OB} = \dfrac {a}{a+b}$ , άρα $KS =\dfrac {8}{29} \cdot 7 = \dfrac {56}{29}$

Συνοψίζοντας, το

κινείται σε κύκλο κέντρου $K\left (\dfrac {105}{29}, 0 \right )$ και ακτίνας $\dfrac {56}{29}$ .

Βασικά ο κύκλος μας είναι ομοιόθετος του κύκλου στον οποίο κινείται το

. Εννοείται τα παραπάνω γενικεύονται για οποιονδήποτε κύκλο και σταθερά μήκη OP, OT

. Επίσης, η παραπάνω λύση είναι ουσιαστικά Ευκλείδεια: Οι συντεταγμένες μπήκαν μόνο για να περιγράψουν αριθμητικά τον κύκλο.

.

#3

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιαν 10, 2026 8:07 am Η ρότα.pngΣτην σταθερή ακτίνα του κύκλου , θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε : .

Στην μεταβλητή ακτίνα του ίδιου κύκλου , θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε : .

Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής , των τμημάτων .

Φέρω

Από $\rm Ceva$ βρίσκω $\displaystyle \frac{{AQ}}{{QB}} = \frac{8}{{15}}$ και από $\rm Van \rm Aubel:$

$\displaystyle \frac{{AS}}{{ST}} = \frac{{AP}}{{PO}} + \frac{{AQ}}{{QB}} = \frac{2}{5} + \frac{8}{{15}} = \frac{{14}}{{15}} \Leftrightarrow \frac{{AS}}{{AT}} = \frac{{14}}{{29}} = \frac{{AK}}{7} = \frac{{SK}}{4}$

: Η ρότα.png (18.13 KiB) Προβλήθηκε 138 φορές

Άρα, $AK=\dfrac{98}{29}, KS=\dfrac{56}{29},$ δηλαδή το

απέχει από το σταθερό σημείο

σταθερή απόσταση $r=\dfrac{56}{29}.$

Επομένως ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος (K, r).

Με πρόλαβε ο Μιχάλης. Την αφήνω γιατί έχουμε ελαφρώς διαφορετική λύση.

Η ρότα

Η ρότα

Re: Η ρότα

Re: Η ρότα

Μέλη σε σύνδεση