Μεταβλητό ευθύγραμμο τμήμα με σταθερό μήκος

giannimani · #1

Δίνεται ένας κύκλος $\omega$ , μια χορδή

αυτού και το μέσο

του μικρότερου τόξου

. Στο μεγαλύτερο τόξο

θεωρούμε σημείο

. Η εφαπτομένη του κύκλου $\omega$ στο σημείο

τέμνει τις εφαπτομένες του $\omega$ στα σημεία

και

στα σημεία

και

αντίστοιχα. Οι ευθείες

και

τέμνουν την ευθεία

στα σημεία

και

αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος

δεν εξαρτιέται από τη θέση του σημείου

στο μεγαλύτερο τόξο

του κύκλου $\omega$ .

: length.png (31.48 KiB) Προβλήθηκε 286 φορές

#2

giannimani έγραψε:Δίνεται ένας κύκλος $\omega$ , μια χορδή αυτού και το μέσο του μικρότερου τόξου . Στο μεγαλύτερο τόξο
θεωρούμε σημείο . Η εφαπτομένη του κύκλου $\omega$ στο σημείο τέμνει τις εφαπτομένες του $\omega$ στα σημεία
και στα σημεία και αντίστοιχα. Οι ευθείες και τέμνουν την ευθεία στα σημεία και αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος δεν εξαρτιέται από τη θέση του σημείου στο μεγαλύτερο τόξο
του κύκλου $\omega$ .

$\bullet$ Έστω

το σημείο των εφαπτομένων του δοσμένου κύκλου (O)

στα σημεία

και

Από

έχουμε ότι τα σημεία Z, W, O

είναι συνευθειακά και έστω το σημείο $T\equiv (O)\cap ZO.$

Η δια του σημείου

κάθετη ευθεία επί την

τέμνει τις ευθείες ZX, ZY, XY

στα σημεία E, E', S

αντιστοίχως και έστω τα σημεία $N'\equiv AB\cap WE$ και $M'\equiv AB\cap WE'.$

Αρκεί ως ισοδύναμο ζητούμενο να αποδειχθεί ότι ισχύει $\boxed{MN=M'N'} \ \ ,(1)$ καθώς το σημείο

ως ειδική περίπτωση του μεταβλητού σημείου

είναι σταθερό σημείο του σχήματος.

: Μεταβλητό ευθύγραμμο τμήμα με σταθερό μήκος.; f=178 t=78946.PNG (40.64 KiB) Προβλήθηκε 189 φορές

$\bullet$ Έστω (K),

ο

παρεγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $\vartriangle SXE,$ ο οποίος εφάπτεται της ευθείας της πλευράς του

στο σημείο έστω

Το σημείο

τώρα, ταυτίζεται με το εσωτερικό κέντρο ομοιότητας των κύκλων (K), (O)

και επομένως η ευθεία

περνάει από το σημείο

λόγω $KD\parallel OW.$

Ισχύει $\boxed{SD=ET=s} \ \ ,(2)$ όπου

είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου $\vartriangle SXE$ και από $(2)\Rightarrow$ $\boxed{DE=ST} \ \ ,(3)$

$\bullet$ Έστω (L,)

ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $\vartriangle SYE'$ ο οποίος εφάπτεται της ευθείας της πλευράς του SE'

στο σημείο έστω D'.

Το σημείο

τώρα, ταυτίζεται με το εξωτερικό κέντρο ομοιότητας των κύκλων (O), (L)

και επομένως η ευθεία

περνάει από το σημείο

λόγω $LD'\parallel OW.$

Ισχύει $\boxed{ST=s'-SY=D'E'}\ \ ,(4)$ όπου

είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου $\vartriangle SYE'.$ ( Ο κύκλος (O)

είναι ο

παρεγγεγραμμένος στο ίδιο τρίγωνο ).

Από $(3), (4)\Rightarrow$ $DE=D'E'\rightarrow$ $\boxed{DD'=EE'} \ \ ,(5)$ λόγω TE=TE'.

Από

και $AB\parallel DE'$ συμπεραίνεται ότι $\boxed{MN=M'N'}$ και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

giannimani · #3

Το πρόβλημα δόθηκε στο διαγωνισμό που διεξάγεται στη μνήμη του φημισμένου γεωμέτρη Ι. Σάριγκιν το έτος 2014 για τη 10η τάξη στον τελικό γύρο.

1ος τρόπος. Έστω $L= CW \cap AB$ και

το δεύτερο σημείο τομής της

με τον $\omega$ . Έστω επίσης η εφαπτομένη x'Wx

του κύκλου $\omega$ στο σημείο

.
Τότε, $x'Wx \parallel AB$ . Tο τετράπλευρο WAZC

είναι αρμονικό (η

συμμετροδιάμεσος του τριγώνου WAC

). Επομένως,
η δέσμη (x'Wx, WZ, WA,WC)

είναι αρμονική και εφόσον $AB \parallel WX$ , τότε AN=NL

. Με όμοιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι το

μέσο του

.
Επομένως, $MN=\frac{AB}{2}=ct$ .

: ct_length.png (42.43 KiB) Προβλήθηκε 154 φορές

2ος τρόπος (επίσημη λύση). Στον κύκλο $\omega$ εγγράφουμε κύκλο $\omega '$ που εφάπτεται της χορδής

στο σημείο

και του κύκλου στο σημείο

.
Ο κύκλος αυτός είναι ομοιόθετος του $\omega$ με την ομοιοθεσία κέντρου

που μεταφέρει την εφαπτομένη x'Wx

στην παράλληλό της

.
Σύμφωνα με γνωστό λήμμα του Αρχιμήδη η

είναι διχοτόμος της γωνίας ACB

και $WA^2=WL \cdot WC$ . Είναι επίσης XC^2=XA^2

.
Από τις δύο αυτές ισότητες συμπεραίνουμε ότι η ευθεία

είναι ο ριζικός άξονας του σημείου

και του κύκλου $\omega '$ .
Εφόσον $N \in WX$ , τότε $NA^2=NL^2\Rightarrow NA= NL$ .

#4

Γιάννη σ' ευχαριστώ πολύ. Διδακτικές και οι δύο αποδείξεις που μας έδωσες. Τις ζήλεψα.

'Οπως έχω πει κάπου αλλού, μαθαίνουμε (κυρίως) από τους άλλους. Να είσαι καλά.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ.(02-03-2026) Μία άλλη τεκμηρίωση της ισότητας AN=NL

στην 1η λύση του Γιάννη (#3), προκύπτει από το ότι η ευθεία AL,

ως κάθετη επί την ακτίνα

του δοσμένου κύκλου (O),

είναι αντιπαράλληλη της ευθείας AC,

ως προς τις ευθείες της γωνίας $\angle AWC$ και επομένως το τμήμα

διχοτομείται από την ευθεία

η οποία ταυτίζεται με την

συμμετροδιάμεσο του τριγώνου $\vartriangle WAC$ και ομοίως για την ισότητα BM=ML.

Όπως είπα, τις ζήλεψα τις αποδείξεις που μας έδωσε ο Γιάννης.

Μεταβλητό ευθύγραμμο τμήμα με σταθερό μήκος

Μεταβλητό ευθύγραμμο τμήμα με σταθερό μήκος

Re: Μεταβλητό ευθύγραμμο τμήμα με σταθερό μήκος

Re: Μεταβλητό ευθύγραμμο τμήμα με σταθερό μήκος

Re: Μεταβλητό ευθύγραμμο τμήμα με σταθερό μήκος

Μέλη σε σύνδεση