Όμορφο τετράπλευρο

KARKAR · #1

: Όμορφο τετράπλευρο.png (27.68 KiB) Προβλήθηκε 64 φορές

Με κέντρο σημείο

του κύκλου (O ,3)

, γράφω τον κύκλο (K,2)

, ο οποίος τέμνει τον (O)

στα σημεία A , B

.

Σημείο

κινείται στο μικρό τόξο $\overset{\frown}{AB}$ του (K)

. Ονομάζουμε S , P

τις τομές των AT , BT

με τον

.

Αν

το αντιδιαμετρικό του

, υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου LPTS

.

#2

[attachment=0]06-04-2026 Γεωμετρία.png[/attachment]

Οι γωνίες P, S

είναι ίσες ως εγγεγραμμένες στον ίδιο κύκλο και οι οποίες βαίνουν σε ίσα τόξα $\displaystyle \mathop {LB}\limits^ \cap = \mathop {LA}\limits^ \cap$ (αφού A, B

συμμετρικά ως προς

).

$\displaystyle \widehat L = \frac{{\mathop {PA}\limits^ \cap + \mathop {AB}\limits^ \cap + \mathop {BS}\limits^ \cap }}{2}$ (σε μοίρες), σταθερό, αφού $\displaystyle \mathop {PA}\limits^ \cap + \mathop {BS}\limits^ \cap$ σταθερό και $\displaystyle \mathop {AB}\limits^ \cap$ επίσης σταθερό.

$\displaystyle \widehat T = \frac{{\mathop {PS}\limits^ \cap + \mathop {AB}\limits^ \cap }}{2}$ (σε μοίρες), επίσης σταθερό.

$\displaystyle \mathop {AP}\limits^ \cap = \mathop {LS}\limits^ \cap ,\;\;\mathop {BS}\limits^ \cap = \mathop {LP}\limits^ \cap$ αφού οι εγγεγραμμένες τους γωνίες είναι ίσες, ως «υπό χορδής κι εφαπτομένης», εφόσον οι LA, LB

είναι εφαπτόμενες του μικρού κύκλου, που έχει το κέντρο του επί του μεγάλου κύκλου. Άρα PLST

παραλληλόγραμμο με σταθερές γωνίες.

Μέγιστο εμβαδόν έχει ο ρόμβος(*), άρα $\displaystyle PS \bot LT$ , οπότε TL = 4

και η τετμημένη του

είναι

.

οπότε $\displaystyle {u^2} = {3^2} - {1^2} = 8 \Rightarrow u = 2\sqrt 2$ , όπου

το ύψος από το

στην

.

$\displaystyle {\left( {PLST} \right)_{\max }} = 2 \cdot \frac{{4 \cdot 2\sqrt 2 }}{2} = 8\sqrt 2$

(*) Γνωστό ιστορικό πρόβλημα μεγιστοποίησης. Σε άλλη ανάρτηση ας δώσουμε την απόδειξη του, ως ξεχωριστό πρόβλημα.

Όμορφο τετράπλευρο

Όμορφο τετράπλευρο

Re: Όμορφο τετράπλευρο

Μέλη σε σύνδεση