Πλευρά τετραγώνου και χορδή

#1

: Μετρική_5.png (16.45 KiB) Προβλήθηκε 156 φορές

Στον περιγεγραμμένο κύκλο τετραγώνου ABCD

πλευράς

και στο μικρό τόξο $\overset\frown{AB},$ θεωρώ σημείο

και

ονομάζω $A\widehat DE=\theta.$ Αν το εμβαδόν του τριγώνου BED

ισούται αριθμητικά με a+1

και $\cos \theta=\dfrac{a-1}{a},$

να βρείτε την πλευρά

του τετραγώνου και το μήκος της χορδής CE.

abgd · #2

: chordi.png (41.46 KiB) Προβλήθηκε 133 φορές

Είναι

$CE=AC\cdot cos\theta=a\sqrt{2}\left(\dfrac{a-1}{a}\right)=\sqrt{2}(a-1)$

Από το εγγράψιμο DEBC

είναι:

$BC\cdot DE+ BE \cdot DC=BD \cdot CE \Leftrightarrow DE+BE = \sqrt{2} CE \Leftrightarrow (DE+BE)^2 = (\sqrt{2} CE)^2 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow DE^2+BE^2+2DE\cdot BE= 2CE^2 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow DB^2+2(BED)=2CE^2 \Leftrightarrow ... 2a^2-7a+3=0 \Leftrightarrow \boxed{a=3}$

$\boxed{CE=\sqrt{2}(a-1)=2\sqrt{2}}$

abgd · #3

abgd έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 23, 2026 2:17 pm

Είναι

$CE=AC\cdot cos\theta=a\sqrt{2}\left(\dfrac{a-1}{a}\right)=\sqrt{2}(a-1)$

Από το εγγράψιμο είναι:

$BC\cdot DE+ BE \cdot DC=BD \cdot CE \Leftrightarrow DE+BE = \sqrt{2} CE \Leftrightarrow (DE+BE)^2 = (\sqrt{2} CE)^2 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow DE^2+BE^2+2DE\cdot BE= 2CE^2 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow DB^2+\color{red}{2(BED)}=2CE^2 \Leftrightarrow ... 2a^2-7a+3=0 \Leftrightarrow \boxed{a=3}$

$\boxed{CE=\sqrt{2}(a-1)=2\sqrt{2}}$

Μια διόρθωση στην παραπάνω λύση:

$\Leftrightarrow DB^2+\color{red}4(BED)}=2CE^2 \Leftrightarrow ... a^2-6a=0 \Leftrightarrow \boxed{a=6}$

$\boxed{CE=\sqrt{2}(a-1)=5\sqrt{2}}$

Γιώργο... νομίζω ότι τώρα είναι εντάξει!

#4

abgd έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 23, 2026 7:35 pm

abgd έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 23, 2026 2:17 pm

Είναι

$CE=AC\cdot cos\theta=a\sqrt{2}\left(\dfrac{a-1}{a}\right)=\sqrt{2}(a-1)$

Από το εγγράψιμο είναι:

$BC\cdot DE+ BE \cdot DC=BD \cdot CE \Leftrightarrow DE+BE = \sqrt{2} CE \Leftrightarrow (DE+BE)^2 = (\sqrt{2} CE)^2 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow DE^2+BE^2+2DE\cdot BE= 2CE^2 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow DB^2+\color{red}{2(BED)}=2CE^2 \Leftrightarrow ... 2a^2-7a+3=0 \Leftrightarrow \boxed{a=3}$

$\boxed{CE=\sqrt{2}(a-1)=2\sqrt{2}}$
Μια διόρθωση στην παραπάνω λύση:

$\Leftrightarrow DB^2+\color{red}4(BED)}=2CE^2 \Leftrightarrow ... a^2-6a=0 \Leftrightarrow \boxed{a=6}$

$\boxed{CE=\sqrt{2}(a-1)=5\sqrt{2}}$

Γιώργο... νομίζω ότι τώρα είναι εντάξει!

Μια χαρά

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 23, 2026 10:15 am
Μετρική_5.png
Στον περιγεγραμμένο κύκλο τετραγώνου πλευράς και στο μικρό τόξο $\overset\frown{AB},$ θεωρώ σημείο και

ονομάζω $A\widehat DE=\theta.$ Αν το εμβαδόν του τριγώνου ισούται αριθμητικά με και $\cos \theta=\dfrac{a-1}{a},$

να βρείτε την πλευρά του τετραγώνου και το μήκος της χορδής

Είναι $cos2 \theta =2cos^2 \theta -1$ απ όπου με $cos \theta = \dfrac{a-1}{a}$ παίρνουμε $cos 2\theta = \dfrac{a^2-4a+2}{a^2}$

Ακόμη $\phi =45^0- \theta \Rightarrow 2 \phi =90^0-2 \theta \Rightarrow sin2 \phi =cos2 \theta$

$(EOB)= \dfrac{(EDB)}{2}= \dfrac{a+1}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{2} (\dfrac{a \sqrt2} {2} )^2.sin2 \phi = \dfrac{a+1}{2}$ απ' όπου εύκολα παίρνουμε a(a-6)=0

άρα

Τότε $cos \theta = \dfrac{CE}{AC} \Rightarrow \dfrac{5}{6} = \dfrac{CE}{6 \sqrt{2} } \Rightarrow CE=5 \sqrt{2}$

: Πλευρά τετραγώνου και χορδή.png (37.68 KiB) Προβλήθηκε 55 φορές

STOPJOHN · #6

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 23, 2026 10:15 am
Μετρική_5.png
Στον περιγεγραμμένο κύκλο τετραγώνου πλευράς και στο μικρό τόξο $\overset\frown{AB},$ θεωρώ σημείο και

ονομάζω $A\widehat DE=\theta.$ Αν το εμβαδόν του τριγώνου ισούται αριθμητικά με και $\cos \theta=\dfrac{a-1}{a},$

να βρείτε την πλευρά του τετραγώνου και το μήκος της χορδής

$(BED)=a+1\Leftrightarrow DE.EB=2(a+1),(1),cos\theta=\dfrac{a-1}{a},(2),cos\theta =\dfrac{a}{DN}=\dfrac{a-1}{a} \Leftrightarrow DN=\dfrac{a^{2}}{a-1},CE=\sqrt{2}(a-1),AE^{2}=2a^{2}-CE^{2}, AE=\sqrt{2}\sqrt{2a-1},(DE+EB)^{2}=2a^{2}+4a+4\Leftrightarrow DE+EB=\sqrt{2}\sqrt{a^{2}+2a+2}$

Από Πτολεμαίο στο

$DEBC,DE=EB+\sqrt{2}AE,EB=\dfrac{2(a+1)}{\sqrt{2a-1}+\sqrt{4a+1}},(3)$

Από Πτολεμαίο στο

$AEBC,EB=a-1-\sqrt{2a-1},(4), (3),(4) \Rightarrow a-1-\sqrt{2a-1}=\dfrac{2(a+1)}{\sqrt{2a-1}+\sqrt{4a+1}}\Leftrightarrow a^{2}-2a+1=4a+1\Leftrightarrow a=6,CE=5\sqrt{2}$

Πλευρά τετραγώνου και χορδή

Πλευρά τετραγώνου και χορδή

Re: Πλευρά τετραγώνου και χορδή

Re: Πλευρά τετραγώνου και χορδή

Re: Πλευρά τετραγώνου και χορδή

Re: Πλευρά τετραγώνου και χορδή

Re: Πλευρά τετραγώνου και χορδή

Μέλη σε σύνδεση