Πιο κάτω δεν πάει

KARKAR · #1

: Πιο κάτω δεν πάει.png (28.37 KiB) Προβλήθηκε 68 φορές

Στην διάμετρο

ενός ημικυκλίου βρίσκονται σημεία P , T

, τέτοια ώστε : AP=2 , PT=7 ,TB=1

.

Σημείο

κινείται στο ημικύκλιο . Το κέντρο

του περικύκλου του τριγώνου SPT

, κινείται φυσικά πάνω

στην μεσοκάθετο του τμήματος

. Βρείτε την "χαμηλότερη" θέση του

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 28, 2026 8:20 pm
Πιο κάτω δεν πάει.pngΣτην διάμετρο ενός ημικυκλίου βρίσκονται σημεία , τέτοια ώστε : .

Σημείο κινείται στο ημικύκλιο . Το κέντρο του περικύκλου του τριγώνου , κινείται φυσικά πάνω

στην μεσοκάθετο του τμήματος . Βρείτε την "χαμηλότερη" θέση του .

.

: πιο κάτω.png (37.86 KiB) Προβλήθηκε 56 φορές

.
Γραφικά/Γεωμετρικά:

Είναι $\tan \theta = \dfrac {PC}{CK}= \dfrac {7/2}{CK}$ , οπότε όταν το

του παρονομαστή είναι το μικρότερο δυνατό, σημαίνει ότι το $\tan \theta$ είναι το μεγαλύτερο δυνατό. Τότε το $\theta =\widehat {PKC}$ είναι το μεγαλύτερο δυνατό. Αλλά είναι επίσης $\widehat {PST}=\theta$ , οπότε το

είναι σε τέτοια θέση στο ημικύκλιο ώστε να βλέπει το σταθερό τμήμα

υπό την μεγαλύτερη δυνατή γωνία. Όμως αυτό είναι το πρόβλημα του Regiomontanus (το έχουμε δει πολλές φορές στο εδώ φόρουμ) και, ως γνωστόν, το

βρίσκεται στον κύκλο που εφάπτεται του δοθέντα (κόκκινος).

Συνοψίζοντας, γράφουμε τον κύκλο που διέρχεται από τα P, T

και εφάπτεται του δοθέντα (πρόβλημα Απολλωνίου). Το κέντρο του

είναι το ζητούμενο χαμηλότερο σημείο.

KARKAR · #3

Η διαπραγμάτευση του Μιχάλη είναι η ουσιαστική λύση του προβλήματος . Επειδή όμως η εκφώνηση περιέχει

αριθμητικά δεδομένα , παρουσιάζει κάποιο ενδιαφέρον ο υπολογισμός του ελαχίστου του τμήματος

.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Απρ 29, 2026 4:01 am
Η διαπραγμάτευση του Μιχάλη είναι η ουσιαστική λύση του προβλήματος . Επειδή όμως η εκφώνηση περιέχει

αριθμητικά δεδομένα , παρουσιάζει κάποιο ενδιαφέρον ο υπολογισμός του ελαχίστου του τμήματος .

Θα βάλω λύση αμέσως από κάτω (βγαίνει $KC=\dfrac {6}{5}$ ) αλλά νομίζω ότι ΕΔΩ η ενασχόληση με τα αριθμητικά δεδομένα χαλάει την άσκηση. Μπαίνουμε σε δευτερεύουσες λεπτομέρειες γιατί η μέθοδος είναι κοινοτυπία και υπάρχει σε όλες τις Γεωμετρίες. Ουσιαστικά ζητάει την απόσταση των κέντρων δύο γνωστών κύκλων (εδώ $\dfrac {13}{10}$ ) που εφάπτονται εσωτερικά. Τίποτα το ενδιαφέρον.

#5

.

: πιο κάτω 2.png (29.14 KiB) Προβλήθηκε 21 φορές

.
Η ακτίνα του ημικυκλίου είναι (2+7+1)/2=5

, οπότε

. Επίσης $CT= \dfrac {PT}{2}=\dfrac {7}{2}$ και $OC=OT-CT=4-\dfrac {7}{2} = \dfrac {1}{2}$ . Τέλος, αν

η ακτίνα του κόκκινου εφαπτόμενου κύκλου έχουμε OK=OS-KS=5-r

.

Από τα ορθογώνια τρίγωνα $KCT, \, KOC$ έχουμε $r^2=h^2+\left (\dfrac {7}{2} \right ) ^2$ και $(5-r)^2=h^2+\left (\dfrac {1}{2} \right ) ^2$ \.

Λύνοντας θα βρούμε $\boxed {r=\dfrac {37}{10} , KC=h= \dfrac {6}{5} }$

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 28, 2026 8:20 pm
Πιο κάτω δεν πάει.pngΣτην διάμετρο ενός ημικυκλίου βρίσκονται σημεία , τέτοια ώστε : .

Σημείο κινείται στο ημικύκλιο . Το κέντρο του περικύκλου του τριγώνου , κινείται φυσικά πάνω

στην μεσοκάθετο του τμήματος . Βρείτε την "χαμηλότερη" θέση του .

Παρόμοια με την τελευταία (#5) του Μιχάλη.

Έστω

η ακτίνα του κύκλου,

το κέντρο του ημικυκλίου και OK=x.

: Πιο κάτω δεν πάει.png (25.63 KiB) Προβλήθηκε 14 φορές

${x^2} - \dfrac{1}{4} = K{M^2} = {r^2} - \dfrac{{49}}{4} \Leftrightarrow$ $\boxed{{r^2} - {x^2} = 12}$ (1)

Αλλά, $\displaystyle KO + KS \geqslant 5 \Leftrightarrow x + r \geqslant 5 \Leftrightarrow r \geqslant 5 - x\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} 12 \geqslant {(5 - x)^2} - {x^2} \Leftrightarrow x \geqslant \frac{{13}}{{10}}$

$\displaystyle K{M^2} \geqslant \frac{{169}}{{100}} - \frac{1}{4} \Leftrightarrow$ $\boxed{KM\ge \frac{6}{5}}$ με την ισότητα να ισχύει όταν $\boxed{x=\frac{13}{10}}$

Πιο κάτω δεν πάει

Πιο κάτω δεν πάει

Re: Πιο κάτω δεν πάει

Re: Πιο κάτω δεν πάει

Re: Πιο κάτω δεν πάει

Re: Πιο κάτω δεν πάει

Re: Πιο κάτω δεν πάει

Μέλη σε σύνδεση