Λογική παραλληλία

KARKAR · #1

Το τρίγωνο ABC

είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O)

και τα σημεία B' , C'

είναι τα αντιδιαμετρικά των B , C

.

Ονομάζω P,Q

τις τομές των AB , AC

με τις

αντίστοιχα και S , T

τις τομές των AB , AC

με τις

αντίστοιχα . Δείξτε ότι : $ST \parallel BC$ .

giannimani · #2

Είναι $\angle BAC'=\angle CAB'$ (τα τόξα BC'

και

είναι ίσα εφόσον περιέχονται μεταξύ παραλλήλων χορδών).
Δηλαδή, οι ευθείες

,

είναι ισογώνιες ως προς τις πλευρές της γωνίας C'AB'

. Έστω $(C'S) \cap (B'T)= E$
και $(C'P) \cap (B'Q)=O$ (

το περίκεντρο του $\triangle ABC$ ). Σύμφωνα με το θεώρημα των ισογώνιων ευθειών οι
ευθείες

,

είναι επίσης ισογώνιες, και εφόσον η

ακτίνα, τότε η

είναι η ευθεία του ύψους

του $\triangle ABC$ .

Τώρα, στα τρίγωνα BC'S

και

είναι $(BS) \cap (CT)=A$ , $(C'S) \cap (B'T)=E$ και οι ευθείες (BC')

,

τέμνονται
στο άπειρο ως παράλληλες, δηλαδή τα τρία σημεία τομής είναι συνευθειακά, οπότε σύμφωνα με το θεώρημα
Desargues οι ευθείες (BC)

,

και

συντρέχουν ή είναι παράλληλες. Αλλά εφόσον $BC \parallel C'B'$ , τότε και
$ST \parallel BC$ .