Μέγιστος αριθμός στηλών

[socrates]

Σε κάθε κελί ενός πίνακα που αποτελείται από 4 γραμμές είναι γραμμένος ένας θετικός ακέραιος. Το άθροισμα των αριθμών σε κάθε στήλη είναι ίσο με 20. Σε κάθε γραμμή, οι αριθμοί είναι διαφορετικοί ανά δύο.
Ποιος είναι ο μέγιστος δυνατός αριθμός στηλών του πίνακα;

[Ορέστης Λιγνός]

Γεια σου Θανάση.

Έστω ότι ο πίνακας έχει στήλες.

Έστω ότι το άθροισμα όλων των αριθμών του πίνακα είναι .

Κάθε στήλη έχει άθροισμα αριθμών , οπότε .

Ακόμη, σε κάθε γραμμή, ο μικρότερος αριθμός είναι , ο αμέσως μεγαλύτερος (αφού είναι διαφορετικοί) κλπ.

Οπότε, σε κάθε γραμμή το άθροισμα είναι , επομένως .

Επομένως, ο πίνακας έχει το πολύ στήλες, τιμή η οποία λαμβάνεται π.χ. στον ακόλουθο πίνακα.