Πρώτοι

#1

Να βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς που μπορούν να γραφούν τόσο ως άθροισμα όσο και ως διαφορά δύο πρώτων.

Xriiiiistos · #2

ο ζητούμενος αριθμός τότε p=r+s

με

πρώτοι αν ο p=2

έχουυμε προφανές άτοπο οπότε ο

είναι περιττός οπότε θα είναι άθροισμα ενός ζυγού και ενός περιττού για αυτόν τον λόγο r=2

σαν ο μόνος ζυγός πρώτος οπότε p,s

είναι οι λεγόμενοι δίδυμοι πρώτοι. Όπως και με την πρόσθεση έτσι θα ισχύει και στην αφαίρεση άρα p=t-2

όπου

πρώτος τώρα από τις ισότητες έχουμε ότι p-2,p,p+2

είναι πρώτοι. Μια λύση είναι p=5

για $p\neq 5$ τότε $p-2\neq3$ και αφου'είναι πρώτοι to

δεν διαιρεί το p-2,p

άρα αναγκαστηκά διαιρεί τ p-1

οπότε διαιρεί και το p+2=p-1+3

και γιαυτό δεν είναι πρώτος. Έχει μοναδική λύση p=5