Ώρα ωραίας εφαπτομένης

KARKAR · #1

: Ώρα ωραίας εφαπτομένης.png (6.4 KiB) Προβλήθηκε 916 φορές

Το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Στην πλευρά

υπάρχει σημείο

,

ώστε : AP=1 , PB=7

. Στην υποτείνουσα

επιλέγουμε σημείο

, το οποίο

ισαπέχει από το

και την πλευρά

. Υπολογίστε την : $\tan \widehat{PST}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 17, 2019 1:00 pm
Ώρα ωραίας εφαπτομένης.pngΤο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Στην πλευρά υπάρχει σημείο ,

ώστε : . Στην υποτείνουσα επιλέγουμε σημείο , το οποίο

ισαπέχει από το και την πλευρά . Υπολογίστε την : $\tan \widehat{PST}$ .

: ΩΩΕ.png (13.46 KiB) Προβλήθηκε 901 φορές

Με νόμο συνημιτόνων στο PBS

βρίσκω $\boxed{x=5}$ και με τον ίδιο νόμο στο SPT:

$\displaystyle P{T^2} = 2{x^2} - 2{x^2}\cos \theta \Leftrightarrow 10 = 50 - 50\cos \theta \Leftrightarrow \cos \theta = \frac{4}{5} \Rightarrow$ $\boxed{\tan \theta = \frac{3}{4}}$

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 17, 2019 1:00 pm
Ώρα ωραίας εφαπτομένης.pngΤο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Στην πλευρά υπάρχει σημείο ,

ώστε : . Στην υποτείνουσα επιλέγουμε σημείο , το οποίο

ισαπέχει από το και την πλευρά . Υπολογίστε την : $\tan \widehat{PST}$ .

Το τετράπλευρο PSTJ

είναι ρόμβος και $PS=ST=TC=t,AT=8-t,AJ=t-1,\hat{PST}=\hat{PJT}=\theta$
Απο Π.Θ στο τρίγωμο AJT,t=5,

,και $tan\theta =tan\hat{AJT}=\dfrac{8-t}{t-1}=\dfrac{3}{4}$

#4

Κατασκευή:

Υπάρχουν δύο τρόποι κατασκευής :

α) το

είναι η τομή της υποτείνουσας με την παραβολή που έχει εστία το σταθερό

και διευθετούσα την

( Προφανώς μη Ευκλείδεια)

α) το

είναι το κέντρο του κύκλου που διέρχεται από το

και το συμμετρικό του

με άξονα συμμετρίας τη υποτείνουσα , εφάπτεται δε στην ευθεία

(Ευκλείδεια κατασκευή)

Υπάρχουν δύο σημεία

, αλλά το άλλο τότε σημείο

είναι στην προέκταση της πλευράς

.

: Ωρα ωραίας εφαπτομένης.png (20.83 KiB) Προβλήθηκε 853 φορές

Τώρα αν η

τέμνει ακόμα τον κύκλο $\left( {S,ST = R} \right)$ στο σημείο

και

το αντιδιαμετρικό του

θα είναι :

$AP = BD = 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TE = 8 + 2 = 10 \Rightarrow \boxed{R = 5}$ .

Επειδή $A{T^2} = AP \cdot AE = 1 \cdot 9 \Rightarrow \boxed{AP = 3}$ . Αν

η προβολή του

στην

,

το ορθογώνιο τρίγωνο $KPS \to \left( {4,5,3} \right)$ και άρα $\boxed{\tan \theta = \frac{3}{4}}$

2ος τρόπος

: Ωρα ωραίας εφαπτομένης_new.png (22.25 KiB) Προβλήθηκε 839 φορές

Η παραβολή έχει εξίσωση : ${x^2} - 2y + 1 = 0$ η ευθεία $BC \to x + y = 8$ .

Από το σύστημά τους : $S\left( {3,5} \right)$ τα υπόλοιπα απλά .

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλό βράδυ!

: Ωραία εφαπτομένη.PNG (7.74 KiB) Προβλήθηκε 832 φορές

Φέρω $PI \perp ST$ . Από το Πυθαγόρειο στο PIS

έχουμε $x^{2}=\left ( x-1 \right )^{2}+\left ( 8-x \right )^{2}\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow \left ( x-5 \right )\left ( x-13 \right )=0$

με δεκτή τιμή x=5

άρα $tan\theta =\dfrac{3}{4}$ . Φιλικά , Γιώργος.

Ώρα ωραίας εφαπτομένης

Ώρα ωραίας εφαπτομένης

Re: Ώρα ωραίας εφαπτομένης

Re: Ώρα ωραίας εφαπτομένης

Re: Ώρα ωραίας εφαπτομένης

Re: Ώρα ωραίας εφαπτομένης

Μέλη σε σύνδεση