Κύκλοι και εμβαδά

#1

: Ορθογώνιοι κύκλοι και εμβαδά.png (18.91 KiB) Προβλήθηκε 549 φορές

Δύο ορθογώνιοι κύκλοι (O,r), (K, R), r<R

τέμνονται στα σημεία M, N.

Μία ευθεία που διέρχεται

από το

τέμνει τον κύκλο (O)

στο

και τον

στο

α) Να δείξετε ότι οι AN, BK

τέμνονται σε ένα σημείο

του κύκλου (K).

β) Αν

να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ABC

όταν:

I) Το γινόμενο $MA\cdot MB$ μεγιστοποιείται και ....... II) Το

είναι μέσο του AC.

#2

george visvikis έγραψε: Παρ Ιαν 17, 2020 7:45 pm Ορθογώνιοι κύκλοι και εμβαδά.png
Δύο ορθογώνιοι κύκλοι τέμνονται στα σημεία Μία ευθεία που διέρχεται

από το τέμνει τον κύκλο στο και τον στο

α) Να δείξετε ότι οι τέμνονται σε ένα σημείο του κύκλου

β) Αν να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου όταν:

I) Το γινόμενο $MA\cdot MB$ μεγιστοποιείται και ....... II) Το είναι μέσο του

α)

: Κύκλοι και εμβαδά a.png (23.24 KiB) Προβλήθηκε 500 φορές

Τα τρίγωνα $MOK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NAB$ είναι προφανώς όμοια άρα $\widehat {BNC} = \widehat {OMK} = 90^\circ$ και άρα η

είναι διάμετρος του κύκλου (K,R)

β)

(i)

: Κύκλοι και εμβαδά b_1.png (26.36 KiB) Προβλήθηκε 500 φορές

Α είναι $OE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KZ$ τα αποστήματα προς τις χορδές $MA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MB$ .

$\left\{ \begin{gathered} EM = 3\cos \theta \hfill \\ ZM = 4\cos \omega = 4\sin \theta \,\,\,(\theta + \omega = 90^\circ ) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και άρα :

$MA \cdot MB = 4ME \cdot MZ = 4 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \dfrac{1}{2}\sin 2\theta \leqslant 24$ . Τότε $\theta = \omega = 45^\circ$

$AB = AM + MB = 3\sqrt 2 + 4\sqrt 2 = 7\sqrt 2$

$\boxed{CM = MB = 4\sqrt 2 \Rightarrow \left( {ABC} \right) = \frac{1}{2} \cdot 7\sqrt 2 \cdot 4\sqrt 2 = 28}$

(ii)

: Κύκλοι και εμβαδά b_ok_2.png (23.44 KiB) Προβλήθηκε 489 φορές

Τώρα και το τρίγωνο $NBC \to (4k,5k,3k)$

$5k = 8 \Rightarrow \boxed{k = \frac{8}{5}} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} NC = \frac{{24}}{5} \hfill \\ BN = \frac{{32}}{5} \hfill \\ AC = \frac{{48}}{5} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\left( {ABC} \right) = \frac{{768}}{{25}} = 30,72}$

Κύκλοι και εμβαδά

Κύκλοι και εμβαδά

Re: Κύκλοι και εμβαδά

Μέλη σε σύνδεση