Προοδευτική τετράδα

KARKAR · #1

: Προοδευτική τετράδα.png (12.45 KiB) Προβλήθηκε 1689 φορές

Θέλουμε να μοιράσουμε την επιφάνεια του τετραγώνου ABCD

σε τέσσερα τρίγωνα , των οποίων τα εμβαδά

να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου . Αυτό επιτεύχθηκε με την αρίθμηση ( όχι την τιμή ) των εμβαδών ,

όπως φαίνεται στο σχήμα . α) Κάντε το και σεις ! ... β) Δείξτε ότι : BS=CT

!

γ) Αν το μικρότερο εμβαδόν είναι

, πόσο είναι το μεγαλύτερο ;

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Απρ 09, 2020 10:11 am Προοδευτική τετράδα.pngΘέλουμε να μοιράσουμε την επιφάνεια του τετραγώνου σε τέσσερα τρίγωνα , των οποίων τα εμβαδά

να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου . Αυτό επιτεύχθηκε με την αρίθμηση ( όχι την τιμή ) των εμβαδών ,

όπως φαίνεται στο σχήμα . α) Κάντε το και σεις ! ... β) Δείξτε ότι : !

γ) Αν το μικρότερο εμβαδόν είναι , πόσο είναι το μεγαλύτερο ;

Ωραία άσκηση!

Θα αποφύγω τις πράξεις ρουτίνας. Έστω

η διαφορά της προόδου. Με τους συμβολισμούς του σχήματος έχω:

: Προοδευτική τετράδα.png (17.17 KiB) Προβλήθηκε 1659 φορές

α) $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {E_2} - {E_1} = w = {E_3} - {E_2} \Leftrightarrow y = \dfrac{{a(a + x)}}{{2a + x}}\\ \\ {S_4} = {a^2} \Leftrightarrow 4{E_1} + 6w = {a^2} \Leftrightarrow y = \dfrac{{a(a + 3x)}}{{3a + 2x}} \end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + 2ax - {a^2} = 0,$ απ' όπου παίρνω την

δεκτή ρίζα $\boxed{x = a(\sqrt 2 - 1)}$ Με αντικατάσταση τώρα, βρίσκω $\boxed{y = a(2 - \sqrt 2 )}$ και εντοπίζονται τα σημεία S, T.

β) $\displaystyle a - x = a(2 - \sqrt 2 ) = y \Leftrightarrow$ $\boxed{BS=CT}$

γ) $\displaystyle {E_1} = 4 \Leftrightarrow xy = 8 \Leftrightarrow {a^2} = 4(3\sqrt 2 + 4)$

$\displaystyle {E_4} = {E_1} + 3w = 4 + \frac{{3a}}{2}(y - x) = 4 + \frac{{3{a^2}}}{2}(3 - 2\sqrt 2 ) \Leftrightarrow$ $\boxed{{E_4} = 4 + 6\sqrt 2 }$

#3

Αλλιώς:

α) Έστω η πλευρά του τετραγώνου είναι

και τα εμβαδά των "προοδευτικών τριγώνων" είναι $E, \, E+a,\,E+2a,\, E+3a\,\,(*)$ , αντίστοιχα.

Είναι E+(E+a)+(E+2a)+(E+3a)=p^2

, οπότε $a=\frac {1}{6}(p^2-3E)$ . Βάζοντας αυτή την τιμή του

στις

, συμπεραίνουμε ότι τα εμβαδά είναι

$\displaystyle{E,\, \frac {1}{6}(p^2+2E),\, \frac {1}{6}(2p^2-3E),\, \frac {1}{6}(3p^2-6E)}$

Από το τρίγωνο $ABS= \frac {1}{6}(2p^2-3E)$ συμπεραίνουμε ότι $BS= \frac {1}{3p}(2p^2-3E)$ και από το $ADT= \frac {1}{6}(p^2+2E)$ έχουμε $DT= \frac {1}{3p}(p^2+2E)$ .

Άρα $CT=p-DT=p- \frac {1}{6}(p^2+2E)= \frac {1}{3p}(2p^2-3E)=BS$ , όπως θέλαμε.

β) Για E=4

τα πράγματα στρωτά και τα αφήνω.

#4

Και μία πληροφορία δώρο: Τα τμήματα (στο σχήμα μου )είναι διαδοχικοί όροι αρμονικής προόδου.

#5

Χρησιμοποιώ τη συμμετρική μορφή των αρτίου πλήθους όρων αριθμητικής προόδου όπως φαίνεται στο σχήμα .

( η διαφορά της προόδου είναι : $w = 2k > 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,T - 3k > 0$ ).

Προφανώς : ${a^2} = 4T > 0\,\,\left( 1 \right)$ ενώ

$2\left( {ADT} \right) + 2\left( {ABS} \right) = 4T \Rightarrow a(x + BS) = {a^2} \Rightarrow x + BS = a \Rightarrow \boxed{BS = y}$

Από τα εμβαδά των $\vartriangle ABT\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle CST$ έχω: $\displaystyle \left\{ \begin{gathered} ax = 2T - 2k \hfill \\ xy = 2T - 6k \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 3ax = 6T - 6k \hfill \\ xy = 2T - 6k \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Και με αφαίρεση κατά μέλη έχω: $x(3a - y) = 4T\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} x(2a + x) = {a^2}\,\,\left( 2 \right)$ γιατί
y = a - x

.

: προοδευτική τετράδα_1.png (19.97 KiB) Προβλήθηκε 1622 φορές

Από την $\left( 2 \right)$ έχω: $\boxed{x = a\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,y = a\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}$

Αν τώρα , $T - 3k = 4 \Leftrightarrow 4T - 12k = 16 \Rightarrow \boxed{k = \frac{{{a^2} - 16}}{{12}}}\,\,\left( 3 \right)$ και αφού

$xy = 8 \Rightarrow {a^2}\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\left( {2 - \sqrt 2 } \right) = 8 \Rightarrow \boxed{{a^2} = \frac{8}{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}}\,\,\left( 4 \right)$ και ή $\left( 3 \right)$ δίδει:

$\boxed{k = \sqrt 2 }$ οπότε το πιο μεγάλο εμβαδόν είναι : $\boxed{T + 3k = 4 + 6k = 4 + 6\sqrt 2 }$

Προοδευτική τετράδα

Προοδευτική τετράδα

Re: Προοδευτική τετράδα

Re: Προοδευτική τετράδα

Re: Προοδευτική τετράδα

Re: Προοδευτική τετράδα

Μέλη σε σύνδεση