Μέγιστο ύψος

KARKAR · #1

: Μέγιστο ύψος.png (8.77 KiB) Προβλήθηκε 865 φορές

Σε ημικύκλιο ακτίνας r=1

, σημείο

κινείται στην διάμετρό του

. Σχεδιάζω την κάθετη προς

την

, ημιευθεία

και έστω

το σημείο στο οποίο η διχοτόμος της $\widehat{PSB}$ , τέμνει την

.

Η ευθεία η οποία συνδέει τα μέσα M , N

των

αντίστοιχα , τέμνει την

στο σημείο

.

Υπολογίστε το μέγιστο "ύψος" του σημείου

. ( Υπόδειξη : Δείξτε ότι : $TP=\dfrac{AS}{2}$ ) .

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Ιούλ 10, 2020 7:55 pm Μέγιστο ύψος.pngΣε ημικύκλιο ακτίνας , σημείο κινείται στην διάμετρό του . Σχεδιάζω την κάθετη προς

την , ημιευθεία και έστω το σημείο στο οποίο η διχοτόμος της $\widehat{PSB}$ , τέμνει την .

Η ευθεία η οποία συνδέει τα μέσα των αντίστοιχα , τέμνει την στο σημείο .

Υπολογίστε το μέγιστο "ύψος" του σημείου . ( Υπόδειξη : Δείξτε ότι : $TP=\dfrac{AS}{2}$ ) .

Χωρίς τη χρήση της υπόδειξης. Έστω SB=x, PS=y.

Τότε $PB=\sqrt{2x}$ και $\boxed{y = \sqrt {x(2 - x)} }$ (1)

: Μέγιστο ύψος.Κ3.png (10.88 KiB) Προβλήθηκε 818 φορές

Λόγω της διχοτόμου είναι $\displaystyle BD = \frac{{x\sqrt {2x} }}{{x + y}},DP = \frac{{y\sqrt {2x} }}{{x + y}}$ και με θεώρημα Μενελάου στο PSB

και διατέμνουσα

$\displaystyle \overline {TNM}$ είναι: $\displaystyle \frac{{SM}}{{MB}} \cdot \frac{{BN}}{{NP}} \cdot \frac{{TP}}{{TS}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{\dfrac{{x\sqrt {2x} }}{{x + y}} + \dfrac{{y\sqrt {2x} }}{{2(x + y)}}}}{{\dfrac{{y\sqrt {2x} }}{{2(x + y)}}}} = \dfrac{{TS}}{{TP}} \Leftrightarrow \dfrac{{2x\sqrt {2x} + y\sqrt {2x} }}{{y\sqrt {2x} }} = \frac{{TS}}{{TS - y}}$

$\displaystyle TS = y + \frac{{{y^2}}}{{2x}}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{f(x) = TS = \sqrt {x(2 - x)} + \frac{{2 - x}}{2}, 0<x<2}$ με $\displaystyle f'(x) = \frac{{2(1 - x) - \sqrt {x(2 - x)} }}{{2\sqrt {x(2 - x)} }},$

απ' όπου παίρνω για $\boxed{ x = \frac{{5 - \sqrt 5 }}{5}}$ μέγιστη τιμή $\boxed{ T{S_{\max }} =\frac{\sqrt 5+1}{2}= \Phi}$

Μέγιστο ύψος

Μέγιστο ύψος

Re: Μέγιστο ύψος

Μέλη σε σύνδεση